第三章线性方程组 §1消元法 现在来讨论一般线性方程组，所谓一般线性方程组是指形式为 a+a++au=b a2+a23++a232=b2 (1) a+a++am=b 的方程组，其中x1,x2,,X。代表n个中未知量，5是方程的个数， a,(i=l,2,…,s,jl,2,,)称为方程组的系数，b,(jl,2,…,s)称为常数项。 方程组中未知量的个数与方程的个数s不一定相等。系数a,的第一个指标i表 示它在第i个方程，第二个指标j表示它是x,的系数。 所谓方程(1)的一个解就是指由n个数k,k2,…,k。组成的有序数组 (k,k2,,k。),当解集合。如果两个方程组有相同的x,x2,,x。分别用 k,k2,,k代入后，(1)中每个等式都变成恒等式。方程组(1)的解的全体称 为它的解集合。解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。 如果两个方程姐有相同的解集合，它们就称为同解的。 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程 组就基本上确定了，确切的说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 a1a22…anb） aa…ab3 (2) a,1a2…ambJ 来表示。实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外，线性方程组(1) 就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。在中学所学的代数 里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。实际上，这个 方法比用行列式解方程组更具有普遍性。下面就来介绍如何用一般消元法解一般 线性方程组。 先看个例子 例如，解方程组
第三章 线性方程组 §1 消元法 现在来讨论一般线性方程组，所谓一般线性方程组是指形式为 + + + = + + + = + + + = . , , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 s s sn n s n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b （1） 的方程组，其中 1 2 xn x ,x ,, 代表 n 个中未知量，s 是方程的个数， ij a (i =1,2,…,s,j=1,2,…,n)称为方程组的系数， j b (j=1,2,…,s)称为常数项。 方程组中未知量的个数与方程的个数 s 不一定相等。系数 ij a 的第一个指标 i 表 示它在第 i 个方程,第二个指标 j 表示它是 j x 的系数。 所谓方程（1）的一个解 就是指由 n 个数 n k , k , , k 1 2 组成的有序数组 （ n k , k , , k 1 2 ），当解集合。如果两个方程组有相同的 1 2 xn x ,x ,, 分别用 n k , k , , k 1 2 代入后，（1）中每个等式都变成恒等式。方程组（1）的解的全体称 为它的解集合。解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。 如果两个方程姐有相同的解集合，它们就称为同解的。 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程 组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用下面的矩阵 s s sn s n n a a a b a a a b a a a b 1 2 22 22 2 2 11 22 1 1 （2） 来表示。实际上，有了（2）之后，除去代表未知量的文字外，线性方程组（1） 就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。在中学所学的代数 里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。实际上，这个 方法比用行列式解方程组更具有普遍性。下面就来介绍如何用一般消元法解一般 线性方程组。 先看一个例子。 例如，解方程组
2x1-x2+3x3=1 4x1+22+5x3=4, 2x1+x2+2x3=5. 第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变为 2x1-x2+3x3=1 4x-x3=2, 2x2-x3=4. 第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三个方程的次序交换，即得 2x1-x2+3x=1 2x2-x3=4 x3=-6. 这样，我们就容易求出方程组的解为(9，-1，-6)。 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所做 的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1.用一非零的数乘某一方程： 2.把一个方程的倍数加到另一个方程： 3.互换两个方程的位置。 于是，我们给出： 定义1 变换1,2,3称为线性方程组的初等变换。 消元的过程就是反复地施行初等变换的过程。下面证明，初等变换总是把方 程组变成同解的方程组。我们只对第二种初等变换来证明。 对方程组 [a+az2+…+amxn=b, a2+az2+…+a23=b, (1) ax+a.,x,++ax。=b 进行第二种初等变换。为简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到另一个方程 得到新方程组 (an+ka)+(a2+kazz)x++(aim +kazn )=b+kb. a2r+an2+…+ann=b2, (2) ax+aax2+…+amxm=b 现在设(G,C2,,c)是(1)的任一解，因(1)和（②）的后s-1个方程是一样的， 所以(G,c,…,cn)满足（②）的后s-1个方程。又(c,C2,,Cn)满足(I)的前 两个方程
+ + = + + = − + = 2 2 5. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 第二个方程减去第一个方程的 2 倍，第三个方程减去第一个方程，就变为 − = − = − + = 2 4. 4 2, 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 第二个方程减去第三个方程的 2 倍，把第二第三个方程的次序交换，即得 = − − = − + = 6. 2 4, 2 3 1, 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 这样，我们就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）。 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所做 的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1．用一非零的数乘某一方程； 2．把一个方程的倍数加到另一个方程； 3．互换两个方程的位置。 于是，我们给出： 定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的初等变换。 消元的过程就是反复地施行初等变换的过程。下面证明，初等变换总是把方 程组变成同解的方程组。我们只对第二种初等变换来证明。 对方程组 + + + = + + + = + + + = . , , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 s s sn n s n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b (1) 进行第二种初等变换。为简便起见，不妨设把第二个方程的 k 倍加到另一个方程 得到新方程组 + + + = + + + = + + + + + + = + . , ( ) ( ) ( ) , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 s s s n n s n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a k a x a k a x a k a x b k b (2) 现在设（ n c ,c , ,c 1 2 ）是(1)的任一解，因 (1)和 (2)的后 s-1 个方程是一样的， 所以（ n c ,c , ,c 1 2 ）满足(2)的后 s-1 个方程。又（ n c ,c , ,c 1 2 ）满足 (1)的前 两个方程
aG1+a2C2+…+acn=b, a1S+aC2+…+ancn=b 把第二式的两边乘以k,再与第一式相加，即为 (au+kaz)c+(a2+kaz)cz+.+(au +kazn)c=b+kbz. 故(G,c2,,cn)又满足（②）的第一个方程，因而是（②）的解。类似地可证（②）的 任一解也是(1)的解。这就证明了(1)与(2)是同解的。 对另外两种初等变换由读者自己去证明。 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组。 对于方程组(1)，首先检查x的系数。如果x的系数a1,a,a,全为零，那么 方程组(1)对x没有任何限制，x就可以取任何值，而方程组(1)可以看作 x2,,x的方程组来解。如果x的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设 a,≠0。利用初等变换2，分别地把第一个方程的-1倍加到第i个方程 dn (i=2,…,s)。于是方程组(1)就变成 [ax1+a2x2+…+almn=b, Q22x2+…+a2mxn=b2, a2X2+…+amxn=b, (3) 其中 这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组 anx+...+a2=b2. (4) a2x2+…+dmxn=b, 的问题。显然，(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出x的值，这就得 出(3)的一个解：而(3)的解显然都是(4)的解。这就是说，方程组(3) 有解的充分必要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方 程组(1)有解的充分必要条件为方程组(4)有 对(4) 再按上面的分析进行变换，并且这样 一步步下去，最后就得到一个 阶梯方程组，为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
. , 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 a c a c a c b a c a c a c b n n n n + + + = + + + = 把第二式的两边乘以 k，再与第一式相加，即为 ( ) ( ) ( ) . 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 a + k a c + a + k a c ++ a n + k a n cn = b + k b 故（ n c ,c , ,c 1 2 ）又满足(2)的第一个方程，因而是(2)的解。类似地可证(2)的 任一解也是（1）的解。这就证明了（1）与(2)是同解的。 对另外两种初等变换由读者自己去证明。 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组。 对于方程组（1），首先检查 x1的系数。如果 x1的系数 11 21 1 , , a a as 全为零，那么 方程组（1）对 1 x 没有任何限制， 1 x 就可以取任何值，而方程组（1）可以看作 n x , , x 2 的方程组来解。如果 1 x 的系数不全为零，那么利用初等变换 3，可以设 a11 0 。利用初等变换 2，分别地把第一个方程的－ 11 1 a ai 倍加到第 i 个方程 （i=2,…,s）。于是方程组（1）就变成 + + = + + = + + + = ` ` ` . ` 2 ` ` , 1 , 2 2 22 2 2 11 1 12 2 1 s sn n s n n a x a x b a x a x b a x a x a nxn b (3) 其中 ` , 1 11 1 j i ij ij a a a a = a − I=2,…,s,j=2,…,n. 这样，解方程组（1）的问题就归结为解方程组 + + = + + = ` ` ` . ` ` ` , 2 2 22 2 2 2 s sn n s n n a x a x b a x a x b （4） 的问题。显然，（4）的一个解，代入（3）的第一个方程就定出 1 x 的值，这就得 出（3）的一个解；而（3）的解显然都 是（4）的解。这就是说，方程组（3） 有解的充分必要条件为方程组（4）有解，而（3）与（1）是同解的，因之，方 程组（1）有解的充分必要条件为方程组（4）有解。 对（4）再按上面的分析进行变换，并且这样一步步下去，最后就得到一个 阶梯方程组，为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
[G+G2x3+…+Gx,+…+Gmxn=d C3+…+Cx,+…+Cnxn=d, cnx,t…+CraXa=d, 6 0=d,+ 0=0, 0=0 其中c≠0,1=1,2，，r方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现， 也可能出现，这时去掉它们也不会影响(5)的解。而且(1)与(5)是同解的。 现在考察(5)的解的情况。 如(5)中有方程0=d,而d1≠0.这时不管，，xn取什么值都不能使它 成为等式。故(5)无解，因而(1)无解。 当d,是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1)r=n.这时阶梯形方程组为 Cx+C22+…+Cnx。=d1, C222+…+C2mxn=d2: (6) CanX=d 其中c≠0，i=1,2,,n由最后一个方程开始，x,Xn,…,x的值就可以逐步地唯 一地决定了。在这个情形，方程组(6)，也就是方程组(1)有唯一的解。 例1上面讨论过的方程组， 2x1-x2+3x3=1, 4x1+2x2+5x3=4 2x1+x2+2x3=5. 经过一系列初等变换后，它变成了阶梯形方程组 [2x1-x2+3x3=1, 2x2-x=4 x3=-6 把x=6代入第二个方程，得 x2=-1 再把x=6,x2=-1代入第一个方程，即得 x1=9 这就是说，上述方程组有唯一的解(9，一1，一6)。 2)r<n.这时阶梯开方程组
= = = + + = + + + + = + + + + + = + 0 0. 0 0, 0 , , , , 1 22 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 r r r r r n n r r r n n r r n n d c x c x d c x c x c x d c x c x c x c x d （5） 其中 c 0,i 1,2, ,r. ii = 方程组（5）中的“0＝0”这样一些恒等式可能不出现， 也可能出现，这时去掉它们也不会影响（5）的解。而且（1）与（5）是同解的。 现在考察（5）的解的情况。 如（5）中有方程 0＝ , dr+1 而 0. dr+1 这时不管 n x , , x 1 取什么值都不能使它 成为等式。故（5）无解，因而（1）无解。 当 dr+1 是零或（5）中根本没有“0＝0”的方程时，分两种情况： 1）r=n.这时阶梯形方程组为 = + + = + + + = . , , 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 nn n n n n n n c x d c x c x d c x c x c x d （6） 其中 c 0,i 1,2, ,n. ii = 由最后一个方程开始， 1 1 x , x , , x n n− 的值就可以逐步地唯 一地决定了。在这个情形，方程组（6），也就是方程组（1）有唯一的解。 例1 上面讨论过的方程组， + + = + + = − + = 2 2 5. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 经过一系列初等变换后，它变成了阶梯形方程组 = − − = − + = 6. 2 4, 2 3 1, 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 把 x3 = −6 代入第二个方程，得 1. x2 = − 再把 x3 = −6， 1. x2 = − 代入第一个方程，即得 9. x1 = 这就是说，上述方程组有唯一的解（9，－1，－6）。 2）r<n.这时阶梯开方程组
Cu+C2x2++cx,+Cr++cunx=di C2x2+…+C2,X,+C2rHX,4+…+C2nxn=d2, Cmx+Cr+Cmxm=d 其中c≠0，i=L2,…,r.把它改写成 Cu+C2X2+..+Cx=d-c-CiX C2++=di-Cz-c (7) … Cnx,=d,-Crrr-Cmxa 由此可见，任给，…x。一组值，就唯一地定出x,2,…x,的值，也就是说 定出方程组(7)的一个解，一般地，由(7)我们可以把x,x2,…x,通过x…x。 表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而xx称为一组自 由未知量 例2 解方程组 2x-x2+3x3=1 {4x1-2x2+5x3=4, (8) 2x-x3+4x3=-1 用初等变换消去x,得 2x1-x2+3x3=1, -x3=2 X3=-2 再施行一次初等变换，得 2x1-x2+3x3=1 (9】 x3=-2. 改写一下， ∫2x+3x3=1+x2, X2=-2. 最后得 x=(7+x2方 (3--2
+ + + = + + + + + = + + + + + + = + + + + + + , , , , 1 1 22 2 2 2, 1 1 2 2 11 1 12 2 1 1, 1 1 1 1 r r r r r r r n n r r r r r n n r r r r n n c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x c x c x d 其中 c 0,i 1,2, ,r. ii = 把它改写成 = − − − + + = − − − + + + = − − − + + + + + + . , , , 1 1 22 2 2 2 2, 1 1 2 11 1 12 2 1 1 1, 1 1 1 r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n c x d c x c x c x c x d c x c x c x c x c x d c x c x （7） 由此可见，任给 r n x , x +1 一组值，就唯一地定出 r x , x , x 1 2 的值，也就是说 定出方程组（7）的一个解，一般地，由（7）我们可以把 r x , x , x 1 2 通过 r n x , x +1 表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而 r n x , x +1 称为一组自 由未知量。 例2 解方程组 − + = − − + = − + = 2 4 1. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x （8） 用初等变换消去 1 x ，得 = − − = − + = 2. 2, 2 3 1, 3 3 1 2 3 x x x x x 再施行一次初等变换，得 = − − + = 2. 2 3 1 3 1 2 3 x x x x （9） 改写一下， = − + = + 2. 2 3 1 , 3 1 3 2 x x x x 最后得 = − = + 2. (7 ), 2 1 3 1 2 x x x