第三章非线性方程求根
1 第三章 非线性方程求根
非线性方程求根 ■非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向 非线性方程的求根非常复杂 ■例如： a=1 无解 π sin(x)=y 1 2 [y=x2+a 一个解 无穷组解 a=4 = x=y2+a a=0 两个解 2 a=-1四个解 2
¡ 非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向 ¡ 非线性方程的求根非常复杂 ¡ 例如： 2 2 1 ) 2 sin( y x y 无穷组解 1 0 4 1 1 2 2 a a a a x y a y x a 无解 一个解 两个解 四个解
非线性方程求根 ■非线性方程的根通常不止一个，很雅找到所有的解 非线性方程求根，通常需要给定初始值或求解范图， 用迭代法求解 ■（介值定理）设f(x)是区间[a,b]上的一个连续函数， 那么f(x)取到f(a)与f(b)之间的任何一个值，即如果y 是f(a)与f(b)之间的一个数，那么存在一个数c∈[a,b] 使得f(c)=y (推论)f(a)f(b)<0→3x,s.t,f(x)=0 3
¡ 非线性方程的根通常不止一个，很难找到所有的解 ¡ 非线性方程求根，通常需要给定初始值或求解范围， 用迭代法求解 ¡ （介值定理）设 是区间 上的一个连续函数， 那么 取到 与 之间的任何一个值，即如果 是 与 之间的一个数，那么存在一个数 使得 （推论） 3 f (x) [a,b] f (x) f (a) f (b) f (a) f (b) f (c) y c [a,b] f (a) f (b) 0 x,s.t., f (x) 0 y
对分法 ■ 基于微积分中的介值定理，对区间[a,b]不断进行细分 ，缩小搜索区问 ■停上标准：x1-x<,或f(x<E2 f6) y=f(x) f(p) P3 a=a1 P2 b=b1 f(p2) f(a) Pi b1 P2 b2 a3 pa ba 4
¡ 基于微积分中的介值定理，对区间 不断进行细分 ，缩小搜索区间 ¡ 停止标准： 或 4 [a,b] 1 1 x x ε k k 2 f (x) ε
对分法 ■ 对分算法 Algorithm 6 Bisection Algorithm Input: f(z),a,b,M,6, 1:u←-f(a； 2:v←f(b) 3:e←-b-a: 4:if sign(u)==sign(v)then 5:return false; 6:end if 7:for k=1 to M do 8: e←-e/2; 9: c←a+e 10: o←-f(c): 11: if el<6 or wl<then 12: return true; 13: end if 14: if sign(u)!sign(v)then b←c: 16: U←w 17: else 18: a←c: 19: u←w: 20: end if 21:end for 22:return false; Output: a,b,u,v 5
¡ 对分算法 5