第七章计算矩阵的特征值与 特征向量 1
1 第七章 计算矩阵的特征值与 特征向量
特征值与特征向量 在实际工程计算中，经常会遇到特征值和特征向量的 计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题； 物理学中的各种临界值等 ■定义：设有n阶矩阵A,若有数2及非零向量V满足方 程Av=v,则称几为A的特征值，V为属于特征值2的特 征向量 ■线性代数中特征值和特征向量的计算步骤： ●计算矩阵的特征多项式：det(2I-A)=”+…+(-l)”det(A) ●求解齐次线性方程组的解空间：(A-)V=0,i=1,2…,n ■因雅：求解高次多项式的根
¡ 在实际工程计算中，经常会遇到特征值和特征向量的 计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题； 物理学中的各种临界值等 ¡ 定义：设有 阶矩阵 ，若有数 及非零向量 满足方 程 ，则称 为 的特征值， 为属于特征值 的特 征向量 ¡ 线性代数中特征值和特征向量的计算步骤： l 计算矩阵的特征多项式： l 求解齐次线性方程组的解空间： ¡ 困难：求解高次多项式的根 2 n A v Av v A v det( ) ( 1) det( ) n n I A A ( ) , 1,2, , i A I v 0 i n
幂法 ■在实际问题中，矩阵按模最大的特征值往往起重要的 作用，譬如矩阵的谱半径决定了迭代矩阵是否收敛 ■ 幂法：计算按模最大特征值及相应特征向量的数值方 法 ■要求：矩阵A具有完备的特征向量系，即A有n个线性 无关的特征向量。在实际问题中，常遇到的实对称矩 阵或具有个互不相同特征值的矩阵就具有这种性质 3
¡ 在实际问题中，矩阵按模最大的特征值往往起重要的 作用，譬如矩阵的谱半径决定了迭代矩阵是否收敛 ¡ 幂法：计算按模最大特征值及相应特征向量的数值方 法 ¡ 要求：矩阵 具有完备的特征向量系，即 有 个线性 无关的特征向量。在实际问题中，常遇到的实对称矩 阵或具有 个互不相同特征值的矩阵就具有这种性质 3 A A n n
景法 958 ■设矩阵A的特征值和特征向量如下： 特征值：2≥2≥…≥2， A是非亏损的，即特征值的几 何重数等于代数重数 特征向量：V1,V2…,V。 累法可以求人，V1 ■基本思想：不断利用矩阵向量乘法，分析得到的向量 序列，计算出矩阵按模最大特征值及相应特征向量 ■ 取初值x0),做迭代 x(+D)=Ax(A) →xk+=Axo,xo=ay,+a2Y2+…+a,yn →xk+D=A(aY1+2V2+…+Vn) =AV+A"v2+..+aA Vn =v1+a3V2+…+ankn Vn 4
¡ 设矩阵 的特征值和特征向量如下： 特征值： 特征向量： 幂法可以求 ¡ 基本思想：不断利用矩阵向量乘法，分析得到的向量 序列，计算出矩阵按模最大特征值及相应特征向量 ¡ 取初值 ，做迭代 4 A 1 2 n 1 2 , , , n v v v 1 1 , v ( 1) ( ) ( 1) (0) (0) 1 1 2 2 ( 1) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 , ( ) k k k k n n k k n n k k k n n k k k n n n x Ax x A x x v v v x A v v v A v A v A v v v v (0) x 是非亏损的，即特征值的几 何重数等于代数重数 A
幂法 ■情形1：若2>2≥…≥2，则有 a候 a,≠0 ∫x≈*(ay) x+w≈入(aV)' 入≈x+)/x) V1≈xk+H) 收敛速度取决于： 1z1 5
¡ 情形1：若 ，则有 收敛速度取决于： 5 1 2 n ( ) 2 1 1 1 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) 1 0 , / k k k k n n n k k k k k k k k x v v v x v x v x x v x 21 | | | |