第一章插值 1
1 第一章 插值
插值问题 ■ 定义：f(x)为定义在区间[a,b]上的函数，xo,x,,xn为[a,b] 上+1个互不相同的点，Φ为给定的某一函数类。若Φ 上有函数o(x)满足： p(x)=f(x),i=0,1,…,n 则称p(x)为f(x)关于节点x,X,,Xn的插值函数 ■氵 称X0,X1,Xn为插值节点 ■称(x,f(x)为插值型值点 ■称f(x)为被插函数
¡ 定义： 为定义在区间 上的函数， 为 上 个互不相同的点， 为给定的某一函数类。若 上有函数 满足： 则称 为 关于节点 的插值函数 ¡ 称 为插值节点 ¡ 称 为插值型值点 ¡ 称 为被插函数 2 f (x) [a,b] 0 1 , , , n x x x [a,b] n 1 (x) ( ) ( ), 0,1, , i i x f x i n (x) f (x) 0 1 , , , n x x x 0 1 , , , n x x x ( , ( )) i i x f x f (x)
插值问题 ■主要问题 ●插值函数类①如何选取？ ●插值函数p(x)是否存在？ ·插值函数0(x)是否唯一？ ●被插值函数f(x)与插值函数p(x)之间误差如何估计？ 3
¡ 主要问题 l 插值函数类 如何选取？ l 插值函数 是否存在？ l 插值函数 是否唯一？ l 被插值函数 与插值函数 之间误差如何估计？ 3 (x) (x) f (x) (x)
插值问题 ■设p(x)=ap(x)+a,,(x)+…+ampm(x),则 f(x)=p(x)=ap(x,)+a10,(x,)+…+ampm(x),i=0,1,…,n ■n+1个方程，m+1个未知量的线性方程组 ■ 当且仅当m=n,det(A)≠0，方程组解存在且难一 4
¡ 设 ，则 ¡ 个方程， 个未知量的线性方程组 ¡ 当且仅当 ， ，方程组解存在且唯一 4 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m m x a x a x a x 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0,1, , i i i i m m i f x x a x a x a x i n n 1 m 1 m n det(A) 0
插值问题 ■（存在雅一性定理）设{x。为+1个互不相等的节点 ,Φ=Span{p,p1,,pn}为n+1维线性空间，则插值函数 (x)存在难一，当且仅当 1p(x）p,(xo)… 0n（xo) p(x)0,(x) …pn(x)） ≠0 o(x) 9(xn)… pn(xn) 5
¡ （存在唯一性定理）设 为 个互不相等的节点 ， 为 维线性空间，则插值函数 存在唯一，当且仅当 5 0 n i i x n 1 0 1 span{ , , , } n n 1 (x) 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n x x x x x x x x x