第七章线性变换 第一节线性映射 教学目的： 1.准确地运用线性映射的定义等价命题判断给定的法则是否是一个线性映 对。 2.正确理解线性映射的象与核的概念及相互间的联系，并能求出它们的基 和维数。 教学内 1.定义和例子： 设F是一个数域，V和W是F上向量空间。 定义1设。是V到W的一个映射，如果下列条件被满足，就称σ是V到W的 一个线性映射： (1) 对于任意5，ne',o(传+)o()+o(): (2)对于任意a∈F,5∈V,a(a5)=ao5) 例1对于R的每一向量5=(k,x)定义 o(G)=(x1,x1-x2,x1+x2)eR 是R2到R3的一个映射，我们证明， σ是一个线性映射。 例2令H是V,中经过原点的一个平面.对于V,的每一向量5，令σ)表示 向量￡在平面H上的正射影.根据射影的性质，o:5→()是V,到V,的一个线 性映射。 例3令A是数域F上一个m×n矩阵，对于n元列空间Fm的每一向量 X2: 5=x3 (x. 规定 σE)=A5 )是一个m×1矩阵，即是空间F"的一个向量，σ是F"到F的一个线性映 例4令V和W是数域F上向量空间.对于V的每一向量5，令W的零向量0 与它对应，容易看出这是V到W的一个线性映射，叫做零映射。 例5令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数K,对于任意 5eV,定义 a()=ks 容易验证，σ是V到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V的一 个位似。 特别，取k=1,那么对于每一5eV,都有σ()=5，这时σ就是V到V的恒 等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k=0,那么σ就是V到V的零映
第七章 线 性 变 换 第一节 线 性 映 射 教学目的: 1．准确地运用线性映射的定义等价命题判断给定的法则是否是一个线性映 射。 2．正确理解线性映射的象与核的概念及相互间的联系，并能求出它们的基 和维数。 教学内容: 1. 定义和例子： 设 F 是一个数域，V 和 W 是 F 上向量空间。 定义 1 设 是 V 到 W 的一个映射，如果下列条件被满足，就称 是 V 到 W 的 一个线性映射： （1） 对于任意 ， V, ( +)=( )+() ； （2） 对于任意 a F, V,(a) = a(). 例1 对于 R 2 的每一向量 ( ) 1 2 = x , x 定义 () = (x1 , x1 − x2 , x1 + x2 ) R 3 是 R 2 到 R 3 的一个映射，我们证明， 是一个线性映射。 例2 令 H 是 V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一向量 ,令 ( ) 表示 向量 在平面 H 上的正射影.根据射影的性质, : ( ) 是 V 3 到 V 3 的一个线 性映射. 例3 令 A 是数域 F 上一个 mn 矩阵,对于 n 元列空间 F m 的每一向量 = n x x x x 3 2 1 , 规定 () = ( ) 是一个 m1 矩阵,即是空间 F m 的一个向量, 是 F n 到 F m 的一个线性映 射. 例4 令 V 和 W 是数域 F 上向量空间.对于 V 的每一向量 , 令 W 的零向量 0 与它对应，容易看出这是 V 到 W 的一个线性映射，叫做零映射。 例5 令 V 是数域 F 上一个向量空间，取定 F 的一个数 K，对于任意 V, 定义 ( ) = k 容易验证， 是 V 到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做 V 的一 个位似。 特别，取 k =1 ，那么对于每一 V, 都有 ( ) = , 这时 就是 V 到 V 的恒 等映射，或者叫做 V 的单位映射，如果取 k = 0 ，那么 就是 V 到 V 的零映 射
例6取定F的一个n元数列a4…a)。对于下"的每一向量 5=(6x2…x),规定 ()=ax+a22++ann∈F 容易验证，σ是下“到F的一个线性映射，这个线性映射也叫做F上一个 元线性函数或F·上一个线性型。 例7对于F[的每一多项式x),令它的导数f"(x)与它对应，根据导数 的基本性质，这样定义的映射是F[到自身的一个线性映射。 例8令C[4,)是定义在[4，上一切连续实函数所成的R上向量空间，对 于每一f)∈C[a,b,规定 o(f(x))=[f(odt σ(x)》仍是a,b上一个连续实函数，根据积分的基本性质，o是C[a,b到 自身的一个线性映射。 2线性映射的基本性质。 首先，定义1里的条件(i),(ii)与以下的条件等价： (iii)对于任意a,beF和任意，ne o(a6+b7)=ao(E)+bo(7) 事实上，如果映射o:V→W满足条件()和()，那么对于任意a,b∈F 和任意5，neV, o(aE+bu)=o(as)+o(bn)=ao(s)+bo(n). 反过来，假设(iii)成立，取a=b=1,就得到条件句：取b=0,就得 到条件（位）。在条件()里，取a=0，就得到 σ0】=0 (1) 换句话说，线性映射将零向量应成零向量 由(m)，对n作数学归纳法，容易推出 (a,5+…+an5n)=a,o(5)+…+a2o(52) (2) 对于任意a,…,an∈F和任意5，…，5n∈V成立。 设是向量空间V到N的一个线性映射。如果V'cV,那么 a(s)EV 是W的一个子集，叫做V在o之下的象，记作σ)）。另一方面 设W'cW。那么 EeVo(E目)eW'} 是V的一个子集，叫做W在σ之下的原象。我们有 定理7.1.1 设V和W是数域F上向量空间，而。：V→W是一个线 性映射，那么V的任意子空间在。之下的象是W的一个子空间。而W的任 意子空间在。之下的原象是V 的 入子空间。 证设V'是V的一个子空间。如果，万是σV)的任意向量，那么总 有5，n∈V' 5=o(5),7=o( 因为o是线性映射，所以对于任意a,beF
例6 取定 F 的一个 n 元数列 ( ) a1 a2 an 。对于 F n 的每一向量 ( ) n x x x = 1 2 ，规定 ( ) = a1 x1 + a2 x2 ++ an xn F 容易验证， 是 F n 到 F 的一个线性映射，这个线性映射也叫做 F 上一个 n 元线性函数或 F n 上一个线性型。 例7 对于 F x 的每一多项式 f (x) ，令它的导数 f (x) 与它对应，根据导数 的基本性质，这样定义的映射是 Fx 到自身的一个线性映射。 例8 令 C a,b 是定义在 a,b 上一切连续实函数所成的 R 上向量空间，对 于每一 f (x)Ca,b ，规定 (f (x)) f (t)dt x a = (f (x)) 仍是 a,b 上一个连续实函数，根据积分的基本性质， 是 C a,b 到 自身的一个线性映射。 2 线性映射的基本性质. 首先,定义 1 里的条件(i),(ii)与以下的条件等价: (iii) 对于任意 a,b F 和任意 , V (a + b) = a ( ) + b () 事实上，如果映射 :V →W 满足条件 (i) 和 (ii) ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V,， (a + b) = (a ) + (b) = a ( ) + b (). 反过来，假设（iii）成立，取 a = b =1 ，就得到条件 (i) ；取 b = 0 ，就得 到条件 (ii) 。在条件 (ii) 里，取 a = 0 ，就得到 (0) = 0 (1) 换句话说，线性映射将零向量应成零向量。 由 (iii) ，对 n 作数学归纳法，容易推出 ( ) ( ) ( ) a1 1 ++ an n = a1 1 ++ a2 2 (2) 对于任意 a1 , ,an F 和任意 1 , , n V 成立。 设 是向量空间 V 到 W 的一个线性映射。如果 V V ，那么 ( ) V 是 W 的一个子集，叫做 V 在 之下的象，记作 (V) 。另一方面， 设 W W 。那么 V ()W 是 V 的一个子集，叫做 W 在 之下的原象。我们有 定理 7.1.1 设 V 和 W 是数域 F 上向量空间，而 :V →W 是一个线 性映射，那么 V 的任意子空间在 之下的象是 W 的一个子空间。而 W 的任 意子空间在 之下的原象是 V 的一个子空间。 证 设 V 是 V 的一个子空间。如果 , 是 (V) 的任意向量，那么总 有 , V 使 = ( ), = (). 因为 是线性映射，所以对于任意 a,b F,
ag+bn=ac(g)+ba(n) =a(as+bn) 但V是V的子空间，所以aE+bney',因而 ag+bnea(v), 这就证明了W:是黑.的一个子空间。现在设W'是W的一个子空 间。令v是w在。之下的原象。显然0Ev5,7∈v 那么 σ()，σ()∈p。因为σ是线性映射而w'是子空间，所以对于任意 a,bEF, o(ag+bn)=ac(s)+bo(n)ew 即a+bn∈y 这就证明了y是v的一个子空间。 特别，向量空间y在。之下的象是W的一个子空间，叫做。的 象，记做Im(o) 。即 Im(a)=a(V). 另一方面，w的零子空间{和}在之下的原象是v的一个子空 间，叫做o的核，记做Ker(o),即 Ker(o)={5e1σ(5)=0.}. 定理7.1.2 设V和W是数域F上向量空间，而σ：V→W 是一个线性映射，那 (1)o是满射一mσ)=W (2)o是单射一Ke(o)={) 订证 论断()是显然的。我们只证论断(ii) 如果。 、是单射，那么Ker(o)只能含有唯一的零向量。反过来设 Ker(o)={。如果57y 而(5)=( o(5-)=c(5)-c()=0。从而5-n∈Krc)={}。所以5=n,。即 。是单射。 现在设U,V和W都是数域F上向量空间。 T,→V,V→ 是线性映射，考虑合成映射 万0T·11 我们证明，p=oor是U到W的一个线形映射。 令p-ooT。那么对于任意的品，bEF和5，n∈U pa5+bnl=o(ra5+bnj》=oaxE)+bxn》 =ao(r(5》+bo(rnl ad()+bo(n) 这就证明了0三万。x是一个线形映射。 如果U,V,,X都是F上，而 t:0→，o:V→W,p:W→X 是线形映射。那么由上面的证明可知，(poo)x和po(oot)都是U到X的 线形映射，并且 (3) (og)ot=po(got)
a + b = a( )+ b() =(a + b) 但 V 是 V 的子空间，所以 a + b V ，因而 a + b (V), 这就证明了 W 是 W. 的一个子空间。现在设 w ' 是 w 的一个子空 间。令 ' v 是 ' w 在 之下的原象。显然 0 ' v ' , v ，那么 ' (),() w 。因为 是线性映射而 ' w 是子空间，所以对于任意 a,b F, 。 ' , (a + b) = a() + b() w 即 ' a + b v 。 这就证明了 ' v 是 v 的一个子空间。 特别，向量空间 v 在 之下的象是 w 的一个子空间，叫做 的 象，记做 Im( ) 。即 Im ( ) = (V ). 另一方面， w 的零子空间 0 在 之下的原象是 v 的一个子空 间，叫做 的核，记做 Ker ( ) ,即 Ker () = V () = 0. . 定理 7.1.2 设 V 和 W 是数域 F 上向量空间，而 :;V →W 是一个线性映射，那么 (1) 是满射 Im() =W (2) 是单射 Ker() = 0 证 论断(i) 是显然的。我们只证论断 (ii) 。 如果 是单射，那么 Ker （） 只能含有唯一的零向量。反过来设 Ker （）= 0 。如果 ， v 而 ( ) = () 。那么 ( −) = ( ) − () = 0 。从而 −Ker() = 0 。所以 = , 。即 是单射。 现在设 U,V 和 W 都是数域 F 上向量空间。 :; u → v,v → w 是线性映射，考虑合成映射 :u →w. 我们证明， = 是 U 到 W 的一个线形映射。 令 = 。那么对于任意的 a,b F 和 , U , (a +b) =((a +b)) =(a()+b()) = a(())+ b(()) = a()+ b(). 这就证明了 = 是一个线形映射。 如果 U，V，W，X 都是 F 上，而 :U →V, :V →W, :W → X 是线形映射。那么由上面的证明可知, ( ) 和 ( ) 都是 U 到 X 的 线形映射，并且 （3） ( ) = ( )
如果线形映射σ：V→W有逆映射。，那么。是W到V的一个线形映 事实上，如果有逆映射。，那么对于任意a,beF和 5,neW,ao()+bo()∈V.由于o是V到W的线形映射，所以 alaa-(s)+ba-(n))=aa(a-())+bala-(n) =ag+bn 两端同时施行σ，就得到 a-'(as+bn)=ao-'()+bo-'(n) 即σ1：W→V也是线形映射。 布置作业：P320.1.2.3.4. 第二节 线性变换的运算 教学目的： 1.准确理解线性变换的定义 2.掌握线性变换的定义 教学内容： 令ⅴ是数域F上一个向量空间。ⅴ到自身到一个线性映叫做的一个线性变 换。 我们用L(W)表示向量空间V的一切线性变换所成的集合。 设o,teL(W).对于中每一向量：。令o(⑤)+r()与它对应。这样得到到V 自身的一个映射，叫做。与x的和，记作。+ o+t:5→σ(5)+(5)： V的线性变换σ与x的和。+r也是V的一个线性变换。事实上，令 p=o+。那么对于任意a,beF和任意5，neV o(as+bn)=a(ag+bn)+r(ag+bn) =ao(5)+bo(n)+ar()+br(n) =a(o(5)+t(5)+b(o()+() =ao()+bo(n). 所以σ+是V的一个线性变换。 线性变换的加法满足交换律和结合律。容易证明，对于任意P,,t∈LW 以下等式成立： (1) σ+T=T+G (2) （P+o)+t=p+(o+t) 令O表示V到自身的零映射，称为V的零变换，它显然具有以下性质：对 于任意o∈L(V)都 (3) 0+0=0 设σ∈L(W),o的负变换-σ指的是V到V的映射 -6:E→-G( 容易证明，-σ也是V的线性变换，并且. (4) 6+(-o)-0 我们定义V的线性变换σ与π的差
如果线形映射 :V →W 有逆映射 −1 ，那么 −1 是 W 到 V 的一个线形映 射。 事实上，如果 有逆映射 −1 ，那么对于任意 a,b F 和 , W , a ( )+ b ( )V − − 1 1 .由于 是 V 到 W 的线形映射，所以 ( ( ) ()) ( ( )) ( ()) −1 −1 −1 −1 a + b = a + b = a + b 两端同时施行 −1 ，就得到 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 − − − a + b = a + b 即 W →V − : 1 也是线形映射。 布置作业:P320.1.2.3.4. 第二节 线 性 变 换 的 运 算 教学目的: 1．准确理解线性变换的定义 2．掌握线性变换的定义 教学内容: 令 v 是数域 F 上一个向量空间。v 到自身到一个线性映叫做的一个线性变 换。 我们用 L(V)表示向量空间 V 的一切线性变换所成的集合。 设， L(V).对于中每一向量 。令 ( ) + ( ) 与它对应。这样得到到 V 自身的一个映射，叫做 与 的和，记作 +. + : ( ) + ( ) . V 的线性变换 与 的和 + 也是 V 的一个线性变换。事实上，令 = + 。那么对于任意 a,b F 和任意 , V , (a + b) = (a + b) + (a + b) = a ( ) + b () + a ( ) + b () = a( ( ) + ( )) + b ( () + ()) = a( ) + b(). 所以 +是V 的一个线性变换。 线性变换的加法满足交换律和结合律。容易证明，对于任意 ,, L(V), 以下等式成立： （1） + = +; （2） （ + ) + = + ( + ). 令 表示 V 到自身的零映射，称为 V 的零变换，它显然具有以下性质：对 于任意 L(V ) 都 (3) + =. 设 L(V),的负变换− 指的是 V 到 V 的映射 − : − ( ). 容易证明，− 也是 V 的线性变换，并且. (4) + (− ) = . 我们定义 V 的线性变换 与 的差
g-r=o+(-r) 这样，在L()里，加法的逆运算一一减法可以施行 现在定义F中的数与V的线性变换的一个“纯量乘法”。 设 k∈F,oeLW)。对于每一5eV,令ko()与它对应。这样得到V到V的一个 映射，记作ko. ko也是V的一个线性变换。事实上，令p=ko,那么对于a,beF和 E,n∈P, o(as+bn)=k(o(as+bn)) -k(ao(5)+bσ( =aka()+bka(n) =ap(5)+bp( 容易证明，下列算律成立 (5) k(a+t)=ka+kt, (6) (k+)a=ka+la, (7) (kD)a=k(la). (8) 1万=万 这里k,1是F中任意数，o,r是V的任意线性变换。 定理7.2.1 L(W)对于加法和纯量乘法来说作成数F域上一个向 量空间。 现在设o,r∈L。我们已经看到，合成映射。。x∈L(,,我们也把合成 映射oot叫做o与的积，并且记作oπ。算律 p(o+t)=po+pT (10) (G+)0=G0+t0, (11) (ko)r=(k=k(o 对于任意k∈F,o,P,r∈L(W门成立。 我们只验证一下等式(9)，其余两个等式可以类似地验证。设：eV。我 们有 p(o+r(5)=p((o+t5) =p(σ(E)+U(x(E) =po(5)+p(5) =(po+po5), 应而(9)成立
− = + (− ). 这样，在 L(V)里，加法的逆运算——减法可以施行。 现在定义 F 中的数与 V 的线性变换的一个“纯量乘法”。设 k F, L(V). 。对于每一 V, ，令 k ( ) 与它对应。这样得到 V 到 V 的一个 映射，记作 k . k 也是 V 的一个线性变换。事实上，令 = k , ，那么对于 a，b F 和 , V, (a + b) = k( (a + b)) = k(a ( ) + b ()) = ak ( ) + bk () = a( ) + b(). 容易证明，下列算律成立： （5） k( + ) = k + k , （6） (k + l) = k + l, （7） (kl) = k(l ), (8) 1 = , 这里 k,l 是 F 中任意数， , 是 V 的任意线性变换。 定理 7。2。1 L(V) 对于加法和纯量乘法来说作成数 F 域上一个向 量空间。 现在设 , L(V) 。我们已经看到，合成映射 L(V ), ，我们也把合成 映射 叫做 与 的积，并且记作 。算律 (9) ( + ) = + , (10) ( + ) = + , (11) (k ) = (kl) = k( ), 对于任意 k F,, , L(V) 成立。 我们只验证一下等式（9），其余两个等式可以类似地验证。设 V 。我 们有 ( + )( ) = ( ( + )( )) = ( ( ) + ( )) = ( ( )) +( ( )) = ( ) + ( ) = ( + )( ) , 应而（9）成立