6. 绪论 证明取a=1,0,…,0T,3=(0,…,0,1)T,则 llallp =1,Ilalle =1,llallp llallp =2.lla 8llp=21/>2 lla Bllp llallp lI8llp 所以0<p<1不是向量范数 2.不同向量范数的关系 同一向量，在不同的范数定义下，得到不同的范数值.定理01给出有限维线性 空间R”中任意向量范数都是等价的， 定理0.1若R1(X),R2(X)是Rn上两种不同的范数定义，则必存在0< m<M<oo,使VX∈R",均有 mR2(X)≤R1(X)≤MR2(X) (0.2) 或 m≤是阅<nX0 (证明略) 可以验证，对于向量的1,2和∞范数有下列等价关系： Xle≤Xl:≤nXle 点Xh≤IXb≤IX axb≤xIe≤xb 例0.5R2中向量1范数、2范数、4范数和0范数的单位“圆”，如图0.1 所示 图0.1范数的单位“圆
0.3矩阵和向量范数 7 3.向量的极限 向量范数的定义提供了度量两个向量的距离标准，即可定义向量的极限和收敛 概念 定义0.7设{X,k=1,2,…,n)为R”上向量序列，若存在向量a∈R 有mX-a=0,则称向量列X因是收敛的，a称为该向量序列的极限. 由向量范数的等价性，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关.向量的极限是 通过它的所有分量的极限定义的.不论选取哪种范数，向量序列Xm)=(x ,,m)下收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即mx存在 若mx=,则X=(1,2,…,n)P就是向量序列{X,k=1,2…,n 的极限.在数值计算中，当迭代的向量序列中相邻两个向量的误差X+)一X川 小于给定精度时，视X+)为极限向量X 0.3.2矩阵范数 1.矩阵范数定义 设A∈Rnxn,记方阵A的范数为‖A,矩阵范数满足下列性质： (1)川4≥0，当且仅当A=0时，川A=0: (非负性) (2)入∈R,IAAl=A|IA: (齐次性) (3)对于任意两个同阶矩阵A,B有 A+BI≤IAI+IBI (三角不等式) (④设A,B为同阶矩阵，则IAB列≤IA|B: (⑤)对VX∈R",恒有 IAX≤IA·IXI (相容性) 只要满足(1)，（②），（③）就可以定义一个矩阵范数.矩阵范数可用向量范数定义。 定义0.8设A∈Rnxm,定义矩阵范数 IAXI A=婴网 (0.3) 下面简化矩阵范数(0.3)的定义。 X∈R”,设川X|=1且X=tX,则
8 绪论 免 IA=器AI 这样，A2在R2上X的选取范围由一张平面压缩到单位圆周上：在R3上 选取范围由三维空间压缩到单位球面上. 定义0.9设川·川是R”上的一个向量范数，则由 A=aAXI,A∈RX“ (0.4) 定义的实值函数川A是一个矩阵范数 这类范数称为算子范数、诱导范数或从属范数.几何直观上，矩阵范数是矩阵 对向量的最大拉伸 2.常用矩阵范数 对应于向量的三种范数，相应的三种矩阵范数形式为 =器{它 (列和范数) t=☏公 (行和范数) IlAll2=VAi 其中小=AA是ATA的特征值 *证明矩阵的范数是R”上满足X=1向量范数‖AX川的上确界，那么 找到这个上确界也就找到了矩阵的范数 (1)任取X∈R”,设‖X1=1,则 公a)<(器三a)三≤器三a 即 A器a
0.3矩阵和向量范数 9 设极大值在列达到有器它a-aa取X=e=, 0,…,0)T,e除第k个分量为1外，其余分量均为0，于是有4el1=I(a1k,a2k,· 由定义和h-1放>三a器{它人因此有 -票位 (2)任取X,设川Xx=1,则 u器un-器{ 器信}器位} 即 器含 另一方面，设极大值在k行达到，取X=e=((sign a1,sign a2,…,sign akn)T 这里 于是 Ael=∑la时l 故 受含 (③)ATA为半正定对称矩阵，具有非负特征值，并具有n个相互正交的单位 特征向量。设ATA的特征值为1≥2≥…≥入≥0，相应的特征向量为 山1,2，·，u,其中山为相互正交的单位向量
.10, 绪论 设X=西+2+…+n并且川X2=1,∑2=1.则 ATAX=1x1山1+222+…+入nEnUn AX服=(AX,AX)=(4TAXX)=∑A2≤A∑x=A 即对任意X2=1均有 IAXI2≤VA 故A2≤=(P(ATA)克，取X=1,则有 IAXla=肥，AXI=V 得到 42=VA 如果A是对称矩阵，那么ATA=AA,设A的特征值是{t,i=1,2,·,n: 则有 Ak=max{V风}=f, 按(0.8)定义的矩阵范数满足矩阵范数中所需的各种条件，称它为从属于该向 量范数的矩阵范数.由(0.8)定义对一切非零向量X,有 4XI≤A川X (0.5) 使得(0.5)成立的矩阵与向量范数称为相容性.根据定义，对任一种从属范数 有川=1，即单位矩阵的范数是1. 还要介绍一种矩阵范数，称为弗罗贝尼鸟斯(Frobenius)范数，用川4r表示， 其定义 (0.6) 因为Frobenius范数易于计算，在实用中是一种十分有用的范数.但它不能从属于 任何一种向量范数因为r=n支， 与向量范数的等价性质类似，不同定义的矩阵范数之间也是等价的 例a8A-(:）分别求1AA