则一定可以在X上定义范数|,st.d(x,y)是由叫所导出的距离 实因令|=d(x0)即可 范数是x的连续函数实因由3°,得 =x-y+川≤-+y,|-≤|-球.将x与y交换,并利 用2°,得-|≤|y=x=(x-y)=-1x-y=x-,所以 ;-|y|x- (2) 于是,-叫≤|n-刈,从而 xn→x(→a)→|x→N 完备的线性赋范空间称为 Banach(巴拿赫)空间 例1.欧氏空间R",对每个x=(512,…,En)∈R",定义 =√|+5+…+k (3) 若令xy)--+V5-n1+2-n2+…+1n-mn =(n,n2…n)∈R,则d(x,y)为R"中欧几里得距离,且满足条件(a) 和(),由此可知是R"中的范数,又因R”完备,故R"按范数(3)成 为 Banach空间. 例2空间Cab,对每个x∈Cab,定义 =(0 (4) 则容易证明C女小按范数(4)成为 Banach空间 例3空间1”,对每个x=(,2…)∈1”,定义
49 则一定可以在 X 上定义范数 x ，s.t. d(x, y) 是由 x 所导出的距离. 实因令 x = d(x,0) 即可. 范数 x 是 x 的连续函数. 实因由 0 3 ，得 x = x − y + y x − y + y ， x - y x − y . 将 x 与 y 交换，并利 用 0 2 ，得 y - x y − x = − (x − y) = −1 x − y = x − y . 所以 x − y x − y . (2) 于是 x x n − x x n − ，从而 x → x(n →) x → x (n →) n n . 完备的线性赋范空间称为 Banach(巴拿赫)空间. 例 1. 欧氏空间 n R ，对每个 x = ( ) n , , , 1 2 n R ，定义 x = 2 2 1 + 2 ++ n . (3) 若令 d(x, y)= x − y = 2 2 1 −1 + 2 −2 ++ n −n ， y = ( ) n , , , 1 2 n R ，则 d(x, y) 为 n R 中欧几里得距离，且满足条件 (a) 和 (b) ，由此可知 x 是 n R 中的范数，又因 n R 完备，故 n R 按范数(3)成 为 Banach 空间. 例 2 空间 Ca,b ，对每个 x Ca,b ，定义 x = Max x(t) t a,b . (4) 则容易证明 Ca,b 按范数(4)成为 Banach 空间. 例 3 空间 l ，对每个 x = ( , , ) 1 2 l ，定义
1x=Sups,I 则/°按范数(5)成为 Banach空间 P207.2.设,6表示有界闭区间[ab]上右连续的有界变差函 数的全体,其线性运算为通常函数空间中的运算,在b]中定义范数 c=xa)+(x).证明:vb]是 Banach空间 证显然是线性空间.今证满足范数条件 =x(a)+(x)20及k=显然成立;|=0x(a)=0且 (x)=0对任一分划T:a=10<1<12<…<t=b,成立xa)=0 及∑x)-x()=0sx()=0,t∈[a x+y=(x+y)(a)+(x+y)≤x()+pa)+(x)+(U)=+ 最后证明Vab的完备性 P(x,y)=xa)-y(a)+v(x-y 设{、()}m是a中任一基本点列,则vE>0,N∈N,s.t Vnm>N时,有p(xm,xn)=xn(a)-xn(a)+(xm-x)<E.容易证明 xn(0)在[ab]一致收敛,记lmxn(=x().只要证明x)∈vb,且 xn()-x(→0(→>∞) 1)x()的右连续性:设M>0,因() x(t+△t
50 x = j j Sup . (5) 则 l 按范数(5)成为 Banach 空间. P 207.22. 设 Va,b 表示有界闭区间 a,b 上右连续的有界变差函 数的全体，其线性运算为通常函数空间中的运算，在 Va,b 中定义范数 x = x(a) V(x) b a + . 证明： Va,b 是 Banach 空间. 证 显然 Va,b 是线性空间. 今证 满足范数条件. x = x(a) V(x) b a + 0 及 x = x 显然成立; x =0 x(a) =0 且 V(x) b a =0 对任一分划 T ： 0 a = t 1 t 2 t t k = b ，成立 x(a) =0 及 ( ) ( ) = − − k i i i x t x t 1 1 =0 x(t) =0，t a,b ; x + y = (x + y)(a) + V(x y) b a + x(a) + y(a) + V(x) b a V(y) b a + = x + y . 最后证明 Va,b 的完备性. (x, y) = x(a)− y(a) + V(x y) b a − . 设 ( ) n n=1 x t 是 Va,b 中任一基本点列，则 0，N ，s.t. n,m N 时，有 ( ) m n x , x = xm (a)− xn (a) + ( ) m n b a V x − x . 容易证明 x (t) n 在 a,b 一致收敛，记 x (t) n n→ lim = x(t). 只要证明 x(t) Va,b，且 xn (t)− x(t) → 0 (n →). 1) x(t) 的右连续性：设 t 0，因 x(t)− x(t + t)