简正坐标OKKKMM两端固定的双谐振子的哈密顿量：p1Hgho2K+K(-）2K+(16)2M2M022做变量替换V2V2Qi=IIi=[+2][p1+p2]2(19)V2V2II2=Q2 =[31 2][P1 p2]22则式(16)变成[+k] +[+]Hgho2=(20)式(20)描述的是两个独立谐振子之和，Q1和Q2是所谓的正则坐标（NormalCoordinate）或者简正坐标，Q1反映的是整体的运动，Q2则是相对运动（质心不动）。000年4月8日12/29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 简正坐标 M M x1 x2 K K K ❀ 两端固定的双谐振子的哈密顿量： Hˆ qho2 = p 2 1 2M + p 2 2 2M + 1 2 Kx2 1 + 1 2 Kx2 2 + 1 2 K(x2 ´ x1) 2 (16) ❀ 做变量替换 Q1 = ? 2 2 [x1 + x2] Q2 = ? 2 2 [x1 ´ x2] Π1 = ? 2 2 [p1 + p2] Π2 = ? 2 2 [p1 ´ p2] (19) 则式(16)变成 Hˆ qho2 = [ Π2 1 2M + 1 2 KQ2 1 ] + [ Π2 2 2M + 1 2 K 3 2 Q 2 2 ] (20) ☞ 式(20)描述的是两个独立谐振子之和，Q1 和 Q2 是所谓的正则坐标（Normal Coordinate）或 者简正坐标，Q1 反映的是整体的运动，Q2 则是相对运动（质心不动）。 中国科学技术大学 2024 年 4 月 8 日 12 / 29
简正模简正模反映的不是某一个原子的振动，而是所有原子都参与的运动。BendingAsymmetric StretchingSymmetric StretchingModeModeMode图-H2O分子的几种简正模式示意图。对于有限大小的非线性分子，简正模的数目为3N-6，N为原子数目。Daa2024年4月8日13/29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 简正模 ❀ 简正模反映的不是某一个原子的振动，而是所有原子都参与的运动。 Asymmetric Stretching Mode Symmetric Stretching Mode Bending Mode 图 – H2O 分子的几种简正模式示意图。 ☞ 对于有限大小的非线性分子，简正模的数目为 3N ´ 6，N 为原子数目。 中国科学技术大学 2024 年 4 月 8 日 13 / 29
一维单原子链(n+1g(n+2)g: (n-2)a(n-1)an8009L889L0088007N动能：2Tmun2n=l交叉项N入βB22Z2u,u,uun-22n=ln=
一维单原子链 动能 1 ： N 2 1 2 1 n N n T mu N n n n n N V un un u u u u 1 21 2 2 1 ( 2 ) 2 ( ) 2 交叉项 n1 2 2 n1
目的：重新选择正则坐标，消去交又项，使动能项与势能项对角化Ung = Aei(ot-nag)ng1iot-nag）NmA.eio0-inagZU-ZUnmg-ZAgeA/Nmqqq12-inaq（傅立叶变换：实空间-动量空间）/Nmq
目的：重新选择正则坐标，消去交叉项，使动能项与势能项对角化 使动能项与势能项对角化 i( t naq) u Ae unq Ae 1 q i t inaq q q q i t naq n nq q NmA e e Nm U U A e ( ) 1 q inaq q Q e Nm1 （傅立叶变换：实空间-动量空间）
3N3N1Zo,Q?Zo?VR22i=li1系统的拉格朗日量为：L=T-VaL= 0,正则动量：P003N/Z(p? +0'g')H-Zop-L=2i=1
3 2 1 1 2 N i i T Q 3 2 2 1 1 2 N i i i V Q 2 i1 2 i1 系统的拉格朗日量为： L T V i i i L p Q Q 正则动量： N i i i i i H Qi pi L p Q 3 1 2 2 2 ( ) 21