为在L各处B的大小一定，并设B的方向与dl一致，故有f B.dl -$ Bdl = B dl -2wRBITI1电流密度大小为j=(ba），的方向在横截面图中是由纸面向里。于是通过横截面S的电流I！为K=rj.ds.jdss（因为j与dS反向）-- [(R-a*)]-I(R*-)(-a)代入安培定理，得到B2aR= -l(R*-al)(6*a*)由此求得B--Hol(Rt=at)2元R(6+二a)B为负值表示B的实际方向和原来在图1-5中横裁面图里所取的方向相反。即在图中B的方向是顺时针方向。考虑到方向后，B可表示为B=ol(R*-a')e(a<R<b)e2元R(6-0)如用柱坐标来求B的旋度，可得w.IezVxB--=μ元(6-a)用同样方法还可求出Rb处的磁场，这时包围导线的回路的环量不为零，但是B的旋度却等于零。请读者自己证明。最后要指出，一般说，利用安培定理只能求解具有充分对称性的场，但对某些特殊的不对称场，也可以根据安培定理和场的叠加原理，利用补偿法进行求解。.20
53麦克斯韦方程组以上两节由实验定律出发总结了静电场和检恒磁场的基本规律。在稳恒场的情形下，电场和磁场相互间没有作用和影响，因而可以分开研究。但当电荷和电流随时间变化时，空间的电场和磁场不再是稳值的，而是变化的电磁场。对于变化场，实验发现不仅电荷可以激发电场，电流可以激发磁场，面且变化着的电场和磁场也可以互相激发，这样，电场和磁场想万影响，不可分割，而形成为统一的电磁场。变化电磁场有下列为稳恒场所没有的规律：（1）变化的磁场激发电场（法拉第电磁感应定律）；（2）变化的电场激发慈场（麦克斯韦位移电流假设）。本将首先讨论这两个规律，然后对各实验规律进行分析、推广和修改，使之适应变化场的情况，从确得到电磁运动的普遍规律，建立电动力学基本方程。3.1电磁感应定律1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们就开始研究相反的效应是否存在，即磁场能否导致电流？法拉第在1821年的日记中就记有“磁转化为电”字样并开始研究。最居于1831年发现了当磁场发生变化时，附近的闭合线圈中有电流通过，由此总结出电磁感应定律：当通过导电间路所围面积的磁感应通量更发生变化时，问路中就产生感应电动势，它等于磁感应通量随时间变化率的负值，即8--do(1.3.1)at式中负号表示感应电动势的作用总是阻碍回路中磁通量的变化。如图1-6所示，当通过面积S的磁通鼠增加时，在导电回路L中产.21
生的感应电动势与我们规定的L围绕方向相反。闭合导线中电动势表示电源对电荷的作用，等子电源使单位电荷绕电B路一周所作的功。感应电动势则表示电磁感应对电荷的作用，等于它使单位电荷绕电路周所作的功。而电场强度等于电场对单位电荷的作用力，单位电荷绕电路一周时电场对它所作的功为图 1-6S E.dlJL和电动势等价。因此，6E.ll(1.3.2)T按照磁感应通的定义，通过导体间路所阖面积S的磁感应通量为五.ds(1.3.3)所以电磁感应定律（1.3，1）式可写di Btsf E-ll--(1.3.4)dtJs11若L是空闻的条固定回路，则上式中对的全微商可写成偏微商c aB.ds1b E.dl(1.3.5)SatYL出矢量分析公式E.dl-Vx E.dSaB.dsVxE.dS-可得at上式对于任意S均成立，故两边被积函数必定相等，因之有:22:
aBV×E---(1.3.6)at（1.3.5）和（1.3.6）式，是电磁感应定律的积分形式和微分形式。导线回路中有感应电流，表明问空中存在着电场。因此，电磁感应现象的实质，是变化磁场在其周围空间中激发了电场，这是电场和磁场内部习盾的一个方面。（1.3.6）式还表明，空间某点磁感应强度B随时间去的变化率的负值，等于该点感应电场E的旋度。这说明感应电场和静电场的性质有很大不同，它是有旋度的场，因丽这种电场不能用一个标量的梯度来表示。aB二二0即得在稳恒情况下，atVXE-0这就是在研究静电场时得到的结果。所以，（1，3.6）式是电磁现象的普遍规律之。虽然最早的研究是在缓变情况下进行的，后来证明这一结果在迅变情况下也正确。另外，从法拉第电磁感应定律（1.35）式不难看出，对于真有相固边像L的任意曲面S，等式右方的面积分必定有确定的俏。例如，对于图1-7中所乐的两个曲面S，和S，应当有aBas-aB3dsJratJs2at如果改变S，的正反面，S，和S，就组成-个闭合曲面S，则图1-7faB.dS-0P.ataf BodS -*aV·BaV=0即atsat由十V可以任意选取，可知23
9(V·B)=0或 -B=常已知对于稳值电流的磁场有V·B一0，因此，即使后来有了变化的磁场，该处B的散度仍应为零，所以可把V.B-0推广到普遍情况。3.2位移电流已知变化的磁场可以激发电场，挪么变化的电场能否激发磁场呢？起初在实验中并末观察到这方面的效应，但是麦克斯韦在总结电磁场论时，发现必须作出有关的假设，才能使整个理论成为合理的、自洽的。从对稳恒电流磁场的分析知，稳恒电流磁场的基本方程之一(1,2.17)式是VxB-u.j同时电荷守恒定律-3+=0又是必须满足的。将(1.2.17)式at两端取散度，可得V.(VXB)-u.V.j此式左方√·（√×B)=0，因此只有在√·i=0的条件下此式才只=0，·方才等于零；在能成立。但是只有在稳恒条件下，器非稳恒条件下，一般说V·i+0。因此，（1.2.17）式与电荷守恒定律发生矛盾。为了解决这个矛盾，麦克斯韦假设存在一个称为位移电流的物理量D，它和通常的传导电流共同构成一个闭合量，满足V(i+jn)-0(1.3.7)并且假设jD和一样产生磁效应。因而可把（1.2.17)式修改为(1.3.8)xB-ui+in)（读者可以自行证明，（1.3.8）式与电荷守恒定律不会发生矛盾。）.24: