2.3磁场的散度和电场一样，为了完全确定磁场这个久最场，必须阅时确定它的散度和旋度。现在先讨论磁场的敢度。在电磁学中已知，磁感应强度B对任何闲合曲面的总通最为零，即fB.us-0(1.2.11)2由于B·dS-·BaV，可将上式改奇为微分形式(1.2.12)V.B-0（1.2.11)或（1.2.12)式是磁场中的高斯定理，是麦克斯书方程组中的一-个甚本方程。它表示磁场是无源场，磁感应线总是无始无终的闭合曲线，不存在与电荷相对应的“磁荷”（至今没有任何关于“磁单极了”存在的可靠实验证据）。下面我们从另-个角度.即从毕奥沙伐尔定律出发来推导磁场中的高斯定理。出B(a)- . j(axr-"4元JVFi()xr.-- j(a")xv()-x[3(a)]拆由r在以推导计利用了×α）=0，这是为算符只对有作用，而与无关，√对的作用就象作用下常最一样。这样，华奥一沙伐尔定律成为如下形式[ia')B(a)4元Y由于这个积分是对允进行的，√与积分变量无关，所以可把又提到积分号外面，使得( j(a')-av!H！Vx(1.2,13)B(α)=4花rJ如取.15
A(a)=-- (. (a)avi(1.2.14)4元JV+则(1.2.13)式可表示为(1.2.15)B()= X A根据矢量分析公式可知，对于任意矢最A，必定有V.(V×4)=0因此B的散度一定等于零，即V.B-0根据数学中的高斯定理进行变换，可得B·ds.V.BaV-0S于是（1.2.11）和（1.2.12）式都得到了证明，它们与毕奥-沙伐尔定律是等效的。2.4磁场的环量和旋度在电磁学中已经讨论过，载流导线周围的磁力线是一组围绕导线的闭合曲线，磁感应强度B沿任一闭合曲线L的环量，与通过所包围的曲面的电流的代数和I成正比，即$ Bdl=μ1(1.2.16)T此式称为安培环路定理。根据斯托克斯定理，上式改写为B.dl--VxB.dS-μoi-dsPL得安培定理的微分形式(1.2.17)VxB=μ它说明稳恒电流的磁场是有旋场。磁场中某一点B的旋度只和该点处的电流密度相联系。下面我们从毕奥-沙伐尔定律出发来推导安培环路定理。由于V×B-V×(V×A)-V(V.A)-V*A，根据(1.2.14)式可得.16
VA-..V.[i(a)/r]ay)(1.2.18)考虑到与无关，被积函数.[()-(")+(").().7.Taaa引入算符！：2，因为=exan!ar=α-a"=[(α-)"+(-y')+(z-2")in可知1所以(1.2.18）式中的被积函数可改写为一（α").V"，而(a)."-"()-()上式最后一步应用了稳恒电流条件（1.2.8）式。由此，（1.2.18）式可化为---[, [ s(a+av----f[ (a)]-ds由于体积包含了所有电流，不会有任何电流通过该体积的包面S，因此面积分等于零，结果为V.A-0(1.2.19)对于另外一项V*A，由(1.2.14)式得到VA---((a)dy)-A.17
j(a')v.Sdv因为在“0时有√·。=0，被积函数只在=a点处不等于零，故可取（）一）并提到积分号外，而fivga-as$ t?s=4元所以'A--μj(1.2.20)销果，根据（1.2.19）和（1.2.20）式，得到VXB-V(V.A)-VA-W)这就是要求证明的（1,2.17）式。以上我们求得了稳恒电流磁场的基本方程，它们表明静磁场是有旋无源场。在推导中，我们是从毕奥-沙伐尔定律出发的，但是这一定律只有在稳恒电流条件下才能成立，在一般情形下需要另行考察论证。进一步的实验证明：√·B一0这一方程在变化的磁场中也是正确的，我们可以把它推广应用到一般形，把此式作为麦克斯韦方程组中的基本方程：而×B一这一方程只在稳恒磁场条件下成立，在一般情况下就不再正确，必须加以修正，这一方面的讨论将在3中进行。在稳恒电流的情况下，导体的某些部分可能有净电荷存在。实验表明，这些电荷之间仍然遵从库仑定律，即它们邀发的电场的性质与静电场相同，电场强度仍可用下式表示1_(e(a)rdyE(α)-4元8.JVg电荷受到的电场作用力也仍可表示为.18:
dF-dgE-pdViE总之，在稳恒电流条件下，电场仍然是有源无旋场，静电场的基本方程7·E一p/6。和×E一0同样可以适用。利用安培定理可以比较方便地解出-一些具有对称分布电流的磁场。但在用安培定理求稳恒电流磁场时应当注意：（1）对于绕闭合路径L的我积分与由该路径所包围的邮面S的面积分，有关的正负号用存手定则确定。（2公式有边的电流I，是指通过曲面S的净电流，谢各条电流的代数和。公式左边的B是该点的总磁感应强度，它足所有电流（包括通过S和不通过S的电流）共同激发的磁场，但是不通过S面的电流所激发的磁场对L的环使为寒，故在计算中不必考察那部分电流。下面举例说明安培定理的应用。例空心圆柱形导线（内半径为，外半径为b）载有电流1，并H均勾分布在横截面上，试计算离轴线的距离为Ra<R）的P点处的磁场B。解根据题日的条件，可知磁线是组绕辅的问心圆，磁力线方向与电流方向之问的关系满足右手定则，B的大小只和点离轴的距离有关。选择通过P点，半径为R的圆作为闭合路径L，如1图1-5所图1-5示，绕行方向按右面的横截面图为逆时针方向，1包阅的面积S就是半径为R的圆。银据有手定则，dS的方向垂直纸俩向外。因·19