内空阅和球上几种情说来求电场分布。当>时，可取半径为了的同心球面为高斯面，高斯面上各点E和dS方询相同。于是fE.dS=EbdS=-4元gFISS根据（1.1.10)式有4元r*E80QE:因雨4元8斤考虑到E的方向店可改马为天量式QrE-(1)(r>a)4元8.g当<a时，同样作半径为T的球面为高斯面，则Q'+ E.ds-4开rE8S式中Q为高斯面内电荷，其值为4Qr:4QgsQ'-元raQ343Waa34元r'E_Qrs则BpaaQrE-4580as考虑到方向后，上式可改写为QrE.(2)(r<a)4元800s当二6，即在球面上时，由(1)、(2)二式可得相同结果。现在计算电场的散度。当>时，由（1)式，并考虑到关系式·50（+0)，因而有&10:
Q.v.r=0V.E:gis4元50当4时，由（2）式直接计算可得Q3Q2-p7.E--.r4元800804元50出本例题中可知，敬度只行在手衔电荷分布的区域内，在球外空间中电场强度E的散度为零。所以E的散度具有局域性质。用1）和（2）式，还可以通过直接计算得到静电场是无旋的。$2毕奥-沙伐尔定律静磁场的散度和旋度2.1电荷守恒定律电荷的运动形成电流。要描述电荷的运动情况，般用电流1来表征。I的定义是I-- limdQ(1.2.1)itsoAtQ是在时间内通过某裁拖的电量。电流1描述了一截面士电荷流动的情况，而不能描述各点处电荷流动的情况，而且它只给出电荷流动的数量，并非表明电荷流动的方向。为了描述电莅在场中各点流动的情说，我们引人电流密度失量了。宠义甩流密度失α3的方向为沿着该点的电流方向，汽的数值等于单位时间内垂直通过单位面积的电鼠。即4jo=lin1Qi0i(a,t)= lim(1.2.2)13., 48.4tAsm.1S.式中4S。是垂直于电流方向的面积元，41是通过这-面积元的电流，表示正电荷运动方向上的单位，1（1.2，2）式可得通过面元ds的电流aI为ul-jdscos&j.ts(1.2.3).11:
式中为dS与之间的夹角。通过任一曲面S的电流为ds(1.2.4)如果某点处的电荷密度为P，而且电荷以共同的漂移速度运动，则该点的电流密度为j=pv(1.2.5)注意，这个关系式不是普遍成立的。在导体内部，可以发生为零，而不为零的情况。这是因为导体中正负电荷速度不同，不能以共同的漂移速度表示。例如在金属导体中，正电荷是不动的，故有p=p++p_=0jp..+p__+0实验证明，封闭系统的总电荷是不会减少也不会增多的，由此事实，人们建立了电荷守恒定律。根据电荷守恒定律，可以导出电流连续性方程。单位时间内，通过任意闭合曲面S，由该曲面所包围的体积:j·dS（如果是负值，就是流入的电量）。V中流出的电量为2JS根据电荷守恒定律，这个量一定等于同时间内体积V中电量的减少。设V内电荷Q以密度p分布，在单位时间内，体积V中增加的电量为Q-a{froeayo?yat=al所以有apay(1.2.6)vat这就是电荷守恒定律的数学表达式。利用矢量运算中的高斯定理，有.12-
opavbi-ds--V-jd1vat由于上式对任意体积均成立，故等式两边的被积函数必定相等，即V.j+p=0(1.2.7)at（1.2.7）式称为电流的连续性方程，它与积分公式（1.2.6）式等效，是电荷守恒定律的微分形式。如果在（1，2.6）式中所取的V是全空间，则8为无穷远界面，由于在S面上没有电流流出，所以（1.2.6）式左边的积分为零，因此&odVt表示全空间的总电荷守恒。在稳恒电流情况下，各处的电荷分布和电流分布不随时间变a00，可得化，因而，V.j-0(1.2.8)（1，2.8）式表明稳恒电流是无源的，电流线是闭合曲线，没有源点和终点。所以稳恒电流只能在闭合回路中通过，如果回路断开，稳恒电流就不能通过。还须指出：电荷守恒定律最初是在几种特殊情况下得到的实验定律，但后来广泛的理论和实验研究表明，电荷守恒定律是自然界最誉追的规律之，它不仅适用于经典电动力学，也适用于量子电动力学。2.2毕奥-沙伐尔定停上面我们讨论了电荷流动、变化的特点和规律。下面研究电流和磁场的相互作用。实验表明两个电流之间有作用力。和静电作用一样，这种作用力也需要通过物质媒介来传递，这种物质称为.13
磁场。电流在其周固空问激发磁场，当另一-电流处于该磁场中，就要受到磁场对它的作用力。对电流有作用力是磁场的特征性质，我们就是利用这种特性来描迷述磁场的。实验表明，一个电流元Ill在稳恒电流的磁场中所受之力可以表示为dF-IdlxB(1.2.9)此式称为安培定律。式中B是电流元Idl所在处的磁感应强度。磁感应强度是描述磁场性质的基本物理量。毕奥-沙伐尔定律描述稳恒电流激发磁场的规律。场源（）dV/在观察点P（a）产生的磁感应强度可表示为dB(a)=o j(a)xr-avi(1.2.10a)4元而整个电流分布在卫点产生的总磁感应强度可用积分求得( i(a')xr ay)B(α)-μo(1.2.106)ra4元V式中之值为山源点到观察点P（）的距离，方向由点指向P点，μ。=4元×10-7Wb/m·A为真空磁导率，积分遍及整个电流分布区域。相应地，勾逃运动点电荷9产生的磁感应强度为Bpqxr(1.2.10c)gs4元如果电流集巾在细导线上，为回路L上的线元，dS，为导线横截面的面元，则v=jdsndt=idsndl=Idl即为导线的电流元。因此，对于通过细导线的稳恒电流所激发的磁场，毕奥一沙伐尔定律可表示为 B(a)="of Idlxr(1.2.10b)d4元JL(1.210，C，d）三式是磁场分布的积分形式，是稳恒电流产生磁场的基本实验定律。.14-