a'-alE(&):(1.1.9)1JL4元80斤*当然在一般情况下，计算是比较复杂的。在实际计算时常常要借助于其它一些方法。根据库仑定律和场的叠加原理，可以得到表征静电场基本性质的两个重要定理，即高斯定理和静电场环路定理。下面分别进行讨论。1.3高斯定理和电场的敲度在电磁学中已知，高斯定理可表述为：在静电场中，通过任一闭合曲面S的电通量Φ，等于此曲面所包含的电荷Q的1/8，倍，即@-$.E.uS-?(1.1.10a)Js80Q指S面内各电荷电量的代数和，面元失量dS取曲面的外法线方向为正方向。下面，利用库仑定律和场的叠加原理对高斯定理进行证明。先研究只有一个点电荷的情况。ds如图1-2所示，设封闭曲面内只有一R个点电荷Q，根据（1.1.5）式和电磁学知识，通过面元αS的电通量为dE.ds-EcoesQcosBds4元8g斤图1-2式中为ds与E之间的夹角，aSco为面元dS投影到以r为半径的球面上的面积。dSc08/为面元dS对点电荷Q所张的立dScosd体角元d，即d=°。它可取正值或负值，正负决定于与dS之间的夹角。当点电荷在S面内时，S面对Q所张的立.5
体角为4元。所以电场强度E对闭合曲面S的电通量为Qf a?lf.E.dS=,4元81s1S60若点电荷Q在闭合曲面S之外。如图1-3所示，通过以Q为项点与闭合曲面S相切的锥面，把S面分为S与S，两部份，S与S，对Q所张的立体角等值反号，总立体角为零。即$,d2=0Ys.E-dS=0故Is即S面以外的电荷Q所发出的电力线，将先穿入S面，然后再穿出来，因而对该曲面的总电通量没有贡献。图1-3在一般情况下，空间有多个点电荷，根据场的叠加原理有E.=E,+E,+..+En可以得到1SQE.-ds（Q在S内)JS8.如果电荷是连续分布的，且体电荷密度为P，则E对闭合曲而8的通量为$E.dS-!puv(1.1.106)S80(1.1.10a），（1.1.106）式是高斯定理的积分形式。利用数学中的高斯定理E·usV.EdvV.E.V-!pdv可得
因为这个关系式对任意积分区域V都成立，所以该式两边的被积函数必定处处相等，即V.E-P(1.1.11)8.（1.1.11）式足高斯定理的微分形式。下面对高斯定理进行讨论。（1）高斯定理是从库仑定律出发，结合场的叠加原理得到的描述静电场基本性质的定理之一。虽然库仑定律只适用于静电情况，但实验表明高斯定理在遍情况下也适用，因此可以把它推广，作为电动力学的基本方程之一。（2）积分形式的高斯定理，把闭合曲面上逐点的电场强度E与该曲面所包围的总电荷Q联系起来。它指出通过任意闭合曲面的电通量，仅仅与该曲面所包围的总电荷有关，与曲面外是否有电荷和电荷如何分布无关。但要注意，闭合曲面上逐点的电场强度E是总电场强度，即由闭合曲面S内的电荷产生的电场E和S外的电荷产生的电场E外之和，即E-E*+E#由于ΦEn·S=0,JS+.E.dS-+ Er-dS-?sLS8所以，通过S面的电通量仅仅决定于S面内的总电荷Q。可见，即使通过闭合曲面的电通量为零，也不能断言该曲面上每一点处的电场强度为零。，（3）微分形式的高斯定理描述了电荷与电场的局城关系。它指出空间某点电场强度E的散度，只与该点的电荷密度有关，与其它地方的电荷分布无关。电荷只直接激发其邻近的场，而远处的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。只要空间没有电荷分布，即p一0，则该处E的散度为零，即·E一0。在有电荷分布，即户+0的地方，电场强度的散度不为零。通过数学中对失量7
论可知，·E卡0说明静电场是有源场，电荷就是电场的源。电力线从正电荷出发，终止于负电荷（或无穷远）处。当然还要指出，√·E-0不等于说E等于零或者是常数。（4）高斯定理的积分形式是普遍适用的，不论电荷是体分布、一面分布或是点电荷，积分形式总成立。但高斯定理的微分形式（1.1.11）式在奇点上不能应用，只有对连续分布的电荷系统，(1.1.11)式才处处成立。高斯定理的积分形式给出了计算对称分布电场的一个简单方法。对于不对称分布的电场，一般不能利用高斯定理的积分形式求解，但也有某些不对称的电场，利用场的叠加原理后，也可用高斯定理求解。1.4静电场的旋度电场是一个矢量场，要完全确定一个矢量场，必须同时确定它的散度和旋度。为此我们仍根据库仑定律和场的叠加原理来研究静电场的环流性质。先计算一个点电荷Q所激发的电场强度E对任一闭合回路L的环流，即di$ E.dl -pf.QrJtnsre'dlII.?式中为闭合回路的线元（图1-4）。设dl与之间的夹角为0，则r.dl-rdcoab=rdr，因而上式为图 1-QfdrQs&(E.dl4元8L4元80rJL$ E.dl-0(1,1.12)即L8
（1，1.12）式衣明一个点电荷所激发的电场E的环量为零。对-于一般的静电荷分布，由了得个电荷元所激发的电场环量为零，根据场的叠加原理，总电场对任一回路的环显应恒为零。即d.E.dl-$.(E,+E++..+En)-dl0JL所以（1.1.12）式对任意静电场和任一闭合回路部成立。利用数学中的斯托克斯定理，积分形式（1.1.12）式可写为fE.dl-VxE·dS-0JI.JS由于上式对任意曲面S都成立，因而被积函数必等于零，即VXE-O(1.1.13)上式为微分形式，表明静电场内任一点电场强度E的旋度为零。所以，静电场是无旋的，电力线分布没有旋涡状结构。（1.1.11）和（1，1.13）式给出了静电场的散度和旋度，揭示了静止电荷激发电场以及静电场内部联系的规律，是静电场的基本方程。它表明静电场是有源无旋的，电荷是电场的源，电力线从正电荷出发而终止于负电荷，在自由空间中电力线连续通过，没有旋涡结构。最后我们指出：静电场的这些基本方程中，高斯定理，即（1.1.10）或（1.1.11）式，在一般情况下仍然适用，可以推广到非静电的各种情况，而（1.1.12）或（1.1.13）式在一般情况下就不再适用。即在非静电的普追情况下，电场是有旋的，必须对（1.1.12）或（1.1.13）式加以适当修改才能作为电动力学基本方程。例电荷Q均勾分布于半径为α的球体内，求空问各点的电场强度，并计算电场的散度。解由电荷分布的对称性知道，电场E沿矢径方向，并耳在与带电球同心的球面上E的值处处相同。下面分球外空间、球.9