常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 形如 是=e+soy+ra,回美0rol0, (1.2.17) 的方程称为Riccati方程。一般来说，Riceati方程不能用初等积分法求解， 提醒学生观察：Riceati方程与线性方程和Bernoull方程的区别和联系 设问：Riccati方程如何求解？ 命题7.若已知Riccati方程(1.2.17)的一个解，则它可以用初等积分法求解。 证：设y=()是方程(1.2.17)的一个解.令y=(c)+山，则方程(1.2.17)转化为 密-ery)+e加+nej2 这是Bernoulli方程，因而可以用初等积分求解.证毕。 引导：Riccati方程都可以用上述类似的方法求解吗？ 下面的结论给出一类Riccati方程可用初等积分法求解的充要条件。 命题8.Ricenti方程 是=a时2+b如n,a≠06m∈g 可用初等积分法求解当且仅当 m=-2兰气ke 证：充分性是Daniel Bernoulli于1725年证明的，事实上它可以用初等积分法不难证明.必 要性是Joseph Liouvil训e于1841年证明了.详细证明从略. 引导学生思考：上述结论揭示了什么？ 注：Louville结论的重要意义在于揭示了：能够用初等积分法求解的微分方程是非常少的. 希望通过求解掌握所有微分方程描述的实际问题的动力学往往是不切实际，因此需要探求 新的方法和理论.这就推动了微分方程现代理论的诞生，如Henry Poincare创立的微分方程 定性理论等等。 问题探索与求真：现代动力系统的思想，发展过程，代表性人物，代表性结果，与数 学各学科的关系。 26
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ /X dy dx = p(x)y 2 + q(x)y + r(x), p(x) 6≡ 0, r(x) 6≡ 0, (1.2.17) êß°è Riccati êß. òÑ5`, Riccati êßÿU^– »©{¶). J2Æ)* µRiccatiêßÜÇ5êß⁄Bernoulliêß ´O⁄ÈX" صRiccatiêßX¤¶)º ·K7. eÆ Riccati êß (1.2.17) òá), Kßå±^– »©{¶). y: y = φ(x) ¥êß (1.2.17) òá). - y = φ(x) + u, Kêß (1.2.17) =zè du dx = (2p(x)φ(x) + q(x))u + p(x)u 2 , ˘¥ Bernoulli êß, œ å±^– »©¶). y.. ⁄µRiccatiêß—å±^˛„aqê{¶)̺ e°(ÿâ—òa Riccati êßå^– »©{¶)øá^á. ·K8. Riccati êß dy dx = ay2 + bxm, a 6= 0, b, m ∈ R, å^– »©{¶)Ö= m = 0, −2, − 4k 2k + 1 , − 4k 2k − 1 , k ∈ N. y: ø©5¥ Daniel Bernoulli u 1725 cy², Ø¢˛ßå±^– »©{ÿJy². 7 á5¥ Joseph Liouville u 1841 cy² . ç[y²l—. ⁄Æ)gµ˛„(ÿ´ üoº 5: Louville (ÿáø¬3u´ µU ^– »©{¶)á©êߥö~. F"œL¶)›º§ká©êߣ„¢SØKƒÂÆ ¥ÿÉ¢S, œdIá&¶ #ê{⁄nÿ. ˘“̃ á©êßyìnÿ), X Henry Poincar´e M·á©êß ½5nÿ " ØK&¢Ü¶˝µyìƒÂX⁄géßu–LßßìL5<‘ßìL5(JßÜÍ ÆàÆâ'X" 26
第五讲、初等积分法：几类可转化为恰当方程的方程 请同学们查阅资料，了解上述信息。在以后的习题与探素课上讨论。 5.特殊变换法 教学目的：了解不同的方程可以有不同的解法。 有些方程没有统一的方法去处理，需要具体问题具体对待.下面举几个简单的例子 1.方程 2-c+2 通过变换u=工+y2可以化成变量分离方程 是=1+2o 2.方程 2=e+ 通过变换u=工++1可以化成变量分离方程 =1+血 3.方程 (-2siny+5)d+(2r-3siny+1)cosydy =0. 通过变换“=simy化成 (c-2u+5)dc+(2zr-3u+1)du=0. 它具有(1.2.14)的形式，因而可求解。 总结：重点是几类方程的求解方法。理论上说没有难点，但灵活运用还是比较困难。 值得关注：Riceati方程在常微分方程发展史上的重要地位。 作业：习题一10.2,10.3,10.8,11 27
1 ˘!– »©{µAaå=zèTêßêß û”ÆÇ ]ß )˛„&E"3±SKÜ&¢ë˛?ÿ" 5. AœCÜ{ Æ8µ )ÿ”êßå±kÿ”){" k êßvk⁄òê{?n, Iá‰NØK‰NÈñ. e°fiAá{¸~f. 1. êß dy dx = f(x + y 2 ) y , œLCÜ u = x + y 2 å±z§C˛©lêß du dx = 1 + 2f(u). 2. êß dy dx = sin(x + y + 1), œLCÜ u = x + y + 1 å±z§C˛©lêß du dx = 1 + sin u. 3. êß (x − 2 sin y + 5)dx + (2x − 3 sin y + 1) cos y dy = 0, œLCÜ u = sin y z§ (x − 2u + 5)dx + (2x − 3u + 1)du = 0. ߉k (1.2.14) /™, œ å¶). o(µ:¥Aaê߶)ê{"nÿ˛`vkJ:ß(¹$^Ñ¥'(J" ä'5µRiccatiêß3~á©êßu–§˛á/†" äíµSKò 10.2, 10.3, 10.8, 11 27
常微分方程教案：第一章常微分方程基础知识 第六讲、线性微分方程的常数变易法与一阶隐式方程的解法1 教学目的与目标 ·知识传授： 一进一步了解和掌握线性微分方程的本质特征和性质 掌握线性微分方程的一个新解法：常数变易法 一一阶隐式方程的解法：，可解出的方程 ·能力素质： 一结合计算的理论分析能力，与抽象思维能力。 温故与设问 ·回顾线性微分方程的解法和通解。 ·线性微分方程是否有更有效的解法？ ·从通解可以进一步得到线性微分方程解的哪些本质特性？ 线性微分方程及其实例 考虑线性微分方程 +)-() (1.2.18) 其中c),q)在开区间(a,)上连续.当g(x)三0时，称(1.2.18)为线性齐次方程.当 q(x)≠0时，称(1.2.18)为线性非齐次方程. 线性微分方程在实际生活中大量地用到，比如RL回路电流方程 +=E 就是线性微分方程，其中L是电感，R是电阻，（是电路的电流，E()是电源的电压. 28
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ 18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò ¤™êß){-1 Æ8Ü8I • £D«µ – ?ò⁄ )⁄›ºÇ5á©êß üA⁄5ü – ›ºÇ5á©êßòá#){µ~ÍC¥{ – ò ¤™êß){µy å)—êß • UÂÉüµ – (‹Oénÿ©¤UÂ, ܃ñgëUÂ" ßÜص • £Ç5á©êß){⁄œ)" • Ç5á©êߥƒkçk){º • lœ)å±?ò⁄Ç5á©êß)= üA5º Ç5á©êß9Ÿ¢~ ƒÇ5á©êß dy dx + p(x)y = q(x), (1.2.18) Ÿ• p(x), q(x) 3m´m (α, β) ˛ÎY. q(x) ≡ 0 û, ° (1.2.18) èÇ5‡gêß. q(x) 6≡ 0 û, ° (1.2.18) èÇ5ö‡gêß. Ç5á©êß3¢S)¹•å˛/^, 'X RL £¥>6êß L dI dt (t) + RI(t) = E(t), “¥Ç5á©êß, Ÿ• L ¥>a, R ¥>{, I(t) ¥>¥>6, E(t) ¥> >ÿ. 28
第六讲、线性微分方程的常数变易法与一阶隐式方程的解法】 线性微分方程的新解法：常数变易法 下面介绍求解线性微分方程的一个非常有用的方法：常数变易法 首先利用变量分离法求线性齐次方程 +e=0 (12.19) 的通解 y=ceJ地，其中c是任意常数 其次将线性齐次方程的通解中的任意常数c换成关于的函数(e).将函数 y=c()je-ped 代入方程(12.18)，并化简得 (r)e-I na)dr =q(r). 所以 d()=q()ef dr+c. 其中c是任意常数.故线性非齐次方程(1.2.18)的通解为 y=e-Jr(a)d(e+(e re)rd） 其中c是任意常数。 方法对比：请学生比较两种方法求解的优越？ 引导思考：两种方法是否可以用在方程组的求解？为以后用常数变易法求解线性微分方 程组作铺垫。 设问：线性微分方程通解的公式是用不定积分表示。 ·如何用定积分表示线性微分方程的通解？ ·线性微分方程初值问题的解如何表示？ 附注： ·对于0∈(a,),线性微分方程(1.2.18)满足初始条件0)=%的解为 g=c6o(四+0e6o）rea 29
18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò ¤™êß){-1 Ç5á©êß#){µ~ÍC¥{ e°0 ¶)Ç5á©êßòáö~k^ê{µ~ÍC¥{. ƒk|^C˛©l{¶Ç5‡gêß dy dx + p(x)y = 0, (1.2.19) œ) y = ce− R p(x)dx ,Ÿ• c ¥?ø~Í. ŸgÚÇ5‡gêßœ)•?ø~Í c ܧ'u x ºÍ c(x). ÚºÍ y = c(x)e − R p(x)dx , ì\êß (1.2.18), øz{ c 0 (x)e − R p(x)dx = q(x). §± c(x) = Z q(x)e R p(x)dxdx + c, Ÿ• c ¥?ø~Í. Ç5ö‡gêß (1.2.18) œ)è y = e − R p(x)dx c + Z q(x)e R p(x)dxdx , Ÿ• c ¥?ø~Í. ê{È'µûÆ)'¸´ê{¶)`º ⁄gµ¸´ê{¥ƒå±^3êß|¶)ºè±^~ÍC¥{¶)Ç5á©ê ß|ä£=" صÇ5á©êßœ)˙™¥^ÿ½»©L´" • X¤^½»©L´Ç5á©êßœ)º • Ç5á©êß–äØK)X¤L´º N5: • Èu x0 ∈ (α, β), Ç5á©êß (1.2.18) ˜v–©^á y(x0) = y0 )è y = e − R x x0 p(s)ds y0 + Z x x0 q(t)e R t x0 p(s)dsdt , x ∈ (α, β). 29
常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 。线性方程(1.2.18)的通解也可用定积分来表示 y=e-foh(e+qt0e。ott】 =ceoa+qt0eo地a业 其中0∈(a,)是任意取定的点，c是任意常数 启发与设问：从通解可以得到线性微分方程解的哪些进一步的信息？ 线性微分方程解的性质 由上述通解和初值问题解的表达式，容易得到 命题9.钱性微分方程的解具有下列性质： ·线性齐次方程(1.2.19)的解或者恒等于零或者恒不等于零； ·线性方程(1.2.18)的解在p(,q()连续的区间(a,)上存在且连续 。钱性齐次方程(1.2.19)解的任意线性组合仍是(1.2.19)的解 ·线性齐次方程(1.2.19的解与非齐次方程(1.2.18)的解的和仍是(1.218)的解 。线性方程(1.2.18)两个解的差是(1.2.19)的解 ·线性微分方程(1,2.18)的初值问题的解存在唯一 线性微分方程解的深入探讨 目的：讨论线性微分方程周期解的存在性与解的极限性质 例题： 1.设a>0,f(z)是连续的2m周期函数，求微分方程 是+y=fe (1.2.20 的周期解
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ • Ç5êß (1.2.18) œ)èå^½»©5L´ y = e − R x x0 p(s)ds c + Z x x0 q(t)e R t x0 p(s)dsdt = c e − R x x0 p(s)ds + Z x x0 q(t)e R t x p(s)dsdt, Ÿ• x0 ∈ (α, β) ¥?ø½:, c ¥?ø~Í. ÈuÜصlœ)å±Ç5á©êß)= ?ò⁄&Eº Ç5á©êß)5ü d˛„œ)⁄–äØK)Là™, N¥ ·K9. Ç5á©êß)‰ke5üµ • Ç5‡gêß (1.2.19) )½ˆð u"½ˆðÿ u"; • Ç5êß (1.2.18) )3 p(x), q(x) ÎY´m (α, β) ˛3ÖÎY; • Ç5‡gêß (1.2.19) )?øÇ5|‹E¥ (1.2.19) ); • Ç5‡gêß (1.2.19) )Üö‡gêß (1.2.18) )⁄E¥ (1.2.18) ); • Ç5êß (1.2.18) ¸á) ¥ (1.2.19) ); • Ç5á©êß (1.2.18) –äØK)3çò. Ç5á©êß) \&? 8µ?ÿÇ5á©êß±œ)35Ü)4Å5ü" ~K: 1. a > 0, f(x) ¥ÎY 2π ±œºÍ, ¶á©êß dy dx + ay = f(x), (1.2.20) ±œ). 30