第六讲、线性微分方程的常数变易法与一阶隐式方程的解法】 解：方程(1.2.20)的通解为 v(r)=ce-+f(s)e"(-ds. (1.2.21) 首先证明（红）是2π周期解←一(2x)=(0).必要性是显然的.下证充分性.令 ()=e+2m).则 2倒-2r+2)=-ae+2)+fe+2)=-ase+fe 这就证明了口)也是方程(12.20)的解又z0)=2)=y(0)由线性方程初值问题 解的唯一性得（红+2）=(c)= 由通解的表达式，从2)=y0)解得 c=1 f(a)e“ds 故方程(1.2.20)有唯一的周期解 间-a(fo-a+oe-as-厂oet-ea） noye-us 2设f回在D,)上连线，且典)=b∈R求证 (@)当a>0时，方程(1.2.20)的所有解当x→0时的极限都是 (⑥)当a<0时，方程(12.20)只有一个解当x→心时的极限是 证：(@)由方程(1.2.20)通解的表达式(1.2.21)知，方程(12.20)的任一解回)在[0∞ 上连续可微.所以有 典a=典气9=典@t@=典@- 其中第二个等式用了Hospital法则，第三个等式用到yc)是方程(1.2.20)的解 (间当a<0时，由假设得积分fs)cds收敛.在通解(1.22)中，令 c=m-gf8e“d 则通解可以写成 =e"(o+〔fo"ds 31
18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò ¤™êß){-1 ) : êß (1.2.20) œ)è y(x) = ce−ax + Z x 0 f(s)e a(s−x) ds. (1.2.21) ƒky² y(x) ¥ 2π ±œ) ⇐⇒ y(2π) = y(0). 7á5¥w,. eyø©5. - z(x) = y(x + 2π). K dz dx(x) = dy dx(x + 2π) = −ay(x + 2π) + f(x + 2π) = −az(x) + f(x). ˘“y² z(x) è¥êß (1.2.20) ). q z(0) = y(2π) = y(0), dÇ5êß–äØK )çò5 y(x + 2π) = z(x) = y(x). dœ)Là™, l y(2π) = y(0) ) c = 1 e 2aπ − 1 Z 2π 0 f(s)e asds. êß (1.2.20) kçò±œ) y(x) = 1 e 2aπ − 1 Z 2π 0 f(s)e a(s−x) ds + Z x 0 f(s)e a(2π+s−x) ds − Z x 0 f(s)e a(s−x) ds = 1 e 2aπ − 1 Z x+2π x f(s)e a(s−x) ds. 2. f(x) 3 [0, ∞) ˛ÎY, Ö limx→∞ f(x) = b ∈ R. ¶y (a) a > 0 û, êß (1.2.20) §k) x → ∞ û4Å—¥ b a . (b) a < 0 û, êß (1.2.20) êkòá) x → ∞ û4Å¥ b a . y : (a) dêß (1.2.20) œ)Là™ (1.2.21) , êß (1.2.20) ?ò) y(x) 3 [0, ∞) ˛ÎYåá. §±k limx→∞ y(x) = limx→∞ e axy(x) e ax = limx→∞ y 0 (x) + ay(x) a = limx→∞ f(x)) a = b a , Ÿ•1á ™^ Hospital {K, 1ná ™^ y(x) ¥êß (1.2.20) ). (b) a < 0 û, db»© R ∞ 0 f(s)e asds ¬Ò. 3œ) (1.2.21) •, - c = c0 − Z ∞ 0 f(s)e asds. Kœ)屧 y(x) = e −ax c0 + Z x ∞ f(s)e asds . 31
常微分方程教案：第一章常微分方程基础知识 所以由Hospital法则可得 典a-照+ c0=0 ear (0(-o,0≠0. 所以当a<0时方程(1220)只有解回)=广1问c-当z→o时的极限是名 总结 ·重点是常数变易法和解的性质。通过实例训练学生掌握。 ·难点是周期解和解的极限性质。这方面的相关内容较多，不同问题处理手段也不尽相 同。需要多联系和训练 思考探索题： 。例1中，如果a<0或a=0是否有周期解？ ·例2中，代替极限存在，只要求f(红)连续有界，问可以得到解的哪些性质？ 作业：习题一13,15,17
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ §±d Hospital {Kå limx→∞ y(x) = limx→∞ c0 + R x ∞ f(s)e asds e ax = b a , c0 = 0, ∞(−∞), c0 6= 0. §± a < 0 ûêß (1.2.20) êk) y(x) = R x ∞ f(s)e a(s−x)ds x → ∞ û4Å¥ b a . o(µ • :¥~ÍC¥{⁄)5ü"œL¢~‘ˆÆ)›º" • J:¥±œ)⁄)4Å5ü"˘ê°É'SNıßÿ”ØK?nÄèÿ¶É ”"IáıÈX⁄‘ˆ g&¢Kµ • ~ 1 •ßXJ a < 0 ½ a = 0 ¥ƒk±œ)? • ~ 2 •ßìO4Å3ßêᶠf(x) ÎYk.ßØå±)= 5ü? äíµSKò 13, 15, 17 32
第六讲、线性微分方程的常数变易法与一阶隐式方程的解法1 一阶隐式方程的解法 引导：学生回忆隐式微分方程，以及与显示微分方程的区别和联系 考虑一阶隐式方程 r()=0 (12.22) 的求解方法。 设问：隐式微分方程如何求解？能用显示方程的方法求解吗？ 下面就几类隐式微分方程讲解求解方法。 1.y可解出的方程 设方程(1.2.22)可写成 y=f北，，p=岩 12.23) 其中f红，)连续可微 将p作为新的因变量，对方程(12.23)两边关于x求导，得到p关于x的导数的显示 方程 (f(,p）-p+f，pd=0 (12.24) ·若方程(12.2)有通解p=(工，c,则方程(1.2.23)有通解y=f(红，u(红，c,其中c是 任意常数.对特解有类似的结论 ·若方程(12.24)有通解x=v(,c以，则方程(1.2.23)有含参数p的通解 z=v(p,c), y=f(v(p,c).p). 其中c是任意常数.对特解有类似的结论 强调注意的问题： 不能对（国）=（红，）求积分得到，因为这样得到的y不一定是原方程的解.下面 Clairaut方程的例子将说明这一点. 该问题在历届学生中都容易出现！
18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò ¤™êß){-1 ò ¤™êß){ ⁄µÆ)££¤™á©êßß±9Üw´á©êß´O⁄ÈX ƒò ¤™êß F x, y, dy dx = 0. (1.2.22) ¶)ê{. ص¤™á©êßX¤¶)ºU^w´êßê{¶)̺ e°“Aa¤™á©êߢ)¶)ê{" 1. y å)—êß êß (1.2.22) å§ y = f(x, p), p = dy dx, (1.2.23) Ÿ• f(x, p) ÎYåá. Ú p äè#œC˛, Èêß (1.2.23) ¸>'u x ¶, p 'u x Íw´ êß (fx(x, p) − p)dx + fp(x, p)dp = 0. (1.2.24) • eêß (1.2.24) kœ) p = u(x, c), Kêß (1.2.23) kœ) y = f(x, u(x, c)), Ÿ• c ¥ ?ø~Í. ÈA)kaq(ÿ. • eêß (1.2.24) kœ) x = v(p, c), Kêß (1.2.23) k¹ÎÍ p œ) x = v(p, c), y = f(v(p, c), p), Ÿ• c ¥?ø~Í. ÈA)kaq(ÿ. rN5øØKµ ÿUÈ y 0 (x) = u(x, c) ¶»© y, œè˘ y ÿò½¥êß). e° Clairaut êß~fÚ`²˘ò:. TØK3{3Æ)•—N¥—yú 33
常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 例题： 1.求解Clairaut方程 y=印+jo.p=是r≠0 解：对Clairaut方程两边关于x求导得 e+ro密=0 由罂=0得到Clairaut方程的通解 y=c+f(c), 其中c是任意常数.注意，Clairaut方程的通解由一族直线构成。 由r+f'(m)=0得到Clairaut方程的特解 x=-f'(p),=p+f(p) 其中p是参数. 进一步地，因"(p)≠0，运用隐函数存在定理从x=-'(p)解出p=w(E).则Clairaut 方程的特解可写成 y=rw(z)+f((》: (1.2.25) 设问与思考：C lairaut方程在常微分方程基础理论中占有重要的地位。 ·Clairaut方程的特解与通解的关系如何？ ·过Clairaut方程特解上任一点的切线是通解中的一条直线.事实上，设(o,ro)是特 解(12.25)上的任一点，则有(o)=(ro小.所以特解过(0，(o》的切线方程为 -(r0)=w(o)(红-x0, 即 y=cor+f(co),co=w(ro). ·特解(12.25)不能用通解表示，因为（口）不是常数.事实上，从工+fP(》=0得 d回=r0 34
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ ~K: 1. ¶) Clairaut êß y = xp + f(p), p = dy dx, f00(p) 6= 0. ): È Clairaut ê߸>'u x ¶ (x + f 0 (p)) dp dx = 0. d dp dx = 0 Clairaut êßœ) y = cx + f(c), Ÿ• c ¥?ø~Í. 5ø, Clairaut êßœ)dòxÜǧ. d x + f 0 (p) = 0 Clairaut êßA) x = −f 0 (p), y = xp + f(p), Ÿ• p ¥ÎÍ. ?ò⁄/, œ f 00(p) 6= 0, $^¤ºÍ3½nl x = −f 0 (p) )— p = ω(x). K Clairaut êßA)å§ y = xω(x) + f(ω(x)). (1.2.25) ØÜg: Clairaut êß3~á©ê߃:nÿ•”ká/†" • Clairaut êßA)Üœ)'XX¤º • L Clairaut êßA)˛?ò:ÉÇ¥œ)•ò^ÜÇ. Ø¢˛, (x0, y(x0)) ¥A ) (1.2.25) ˛?ò:, Kk y 0 (x0) = ω(x0). §±A)L (x0, y(x0)) ÉÇêßè y − y(x0) = ω(x0)(x − x0), = y = c0x + f(c0), c0 = ω(x0). • A) (1.2.25) ÿU^œ)L´, œè ω(x) ÿ¥~Í. Ø¢˛, l x + f 0 (ω(x)) ≡ 0 ω 0 (x) = − 1 f 00(ω(x)) 6= 0. 34
第六讲、线性微分方程的常数变易法与一阶隐式方程的解法】 ·上述两点说明Clairaut方程特解对应的积分曲线上任一点都有通解中的一条积分曲线 通过，且两者在该点相切。 的
18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò ¤™êß){-1 • ˛„¸:`² Clairaut êßA)ÈA»©Ç˛?ò:—kœ)•ò^»©Ç œL, Ö¸ˆ3T:ÉÉ. 35