第四讲、初等积分法：积分因子的性质和例子 方程2x2画=0有积分因子和通积分分别为 2(,)=2，2（红，= 取1()=。2，()=21，即可得方程(12.8)的积分因子 4(红，)=4191（便1）=292(2)=工21， 和通积分 (红，）=2血ll-y2 启发学生思考如何分项组合？ 启发学生可以进一步思考的问题 ·给定方程是否可以有多个积分因子？ ·如果有，它们之间的关系如何？ ·多个积分因子与全微分的联系？ 作业：习题一73,7.5,7.7,8,9 21
1o˘!– »©{µ»©œf5ü⁄~f êß 2x 2dy = 0 k»©œf⁄œ»©©Oè µ2(x, y) = x −2 , Φ2(x, y) = y. g1(z) = z −2 , g2(z) = z −1 , =åêß (1.2.8) »©œf µ(x, y) = µ1g1(Φ1) = µ2g2(Φ2) = x −2 y −1 , ⁄œ»© Φ(x, y) = 2 ln |y| − xy−2 . ÈuÆ)gX¤©ë|‹º ÈuÆ)å±?ò⁄gØKµ • â½êߥƒå±kıứœfº • XJkßßÇÉm'XX¤º • ıứœfÜ á©ÈXº äíµSKò 7.3, 7.5, 7.7, 8, 9 21
常微分方程教案：第一章常微分方程基础知识 第五讲、初等积分法：几类可转化为恰当方程的方程 教学目的与目标 。知识传授： -变量分离转化恰当方程 一齐次变换转化为变量分离方程 -已知Riccati方程的一个解，转换为Bernoulli方程求解 一通过特殊变换转化为变量分离方程 ·能力素质： 一学会灵活运用各种方法求解方程，以及分析问题和解决问题的综合能力 1.变量分离方程 形如 P(r)P:(v)dr+Q(r)Q2(y)dy=0. (1.2.9 的方程称为变量分离方程.易知Q()的零点x=0和P()的零点y=咖都是方程 (1.2.9)的解.对于Q1()P2()≠0，变量分离方程(1.2.9)等价于恰当方程 因而当Q包)乃()≠0，方程(12.9)有通积分 ∫8+∫8- 其中c是任意常数 关键点：认识变量分离方程，注意除数为零的特解不可遗漏。 导入不可微的自治微分方程解唯一的判定： 在S1.1二的例4中，初值问题(x)=y,(1)=0的解不唯一.下面利用分离变量方 程的求解给出这类方程初值问题解存在唯一的充要条件. 22
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ 1 ˘!– »©{µAaå=zèTêßêß Æ8Ü8I • £D«µ – C˛©l=zTêß – ‡gCÜ=zèC˛©lêß – ÆRiccatiêßòá)ß=ÜèBernoulliê߶) – œLAœCÜ=zèC˛©lêß • UÂÉüµ – ƨ(¹$^à´ê{¶)êß, ±9©¤ØK⁄)˚ØKn‹U 1. C˛©lêß /X P1(x)P2(y)dx + Q1(x)Q2(y)dy = 0, (1.2.9) êß°èC˛©lêß. ¥ Q1(x) ": x = x0 ⁄ P2(y) ": y = y0 —¥êß (1.2.9) ). Èu Q1(x)P2(y) 6= 0, C˛©lêß (1.2.9) duTêß P1(x) Q1(x) dx + Q2(y) P2(y) dy = 0. œ Q1(x)P2(y) 6= 0, êß (1.2.9) kœ»© Z P1(x) Q1(x) dx + Z Q2(y) P2(y) dy = c, Ÿ• c ¥?ø~Í. 'Ö:µ@£C˛©lêßß5øÿÍè"A)ÿ墶" \ÿåág£á©êß)çò½µ 3 §1.1 ~ 4 •, –äØK y 0 (x) = y 1 3 , y(1) = 0 )ÿçò. e°|^©lC˛ê ߶)â—˘aêß–äØK)3çòøá^á. 22
第五讲、初等积分法：几类可转化为怡当方程的方程 例题：设f()在y-ad叫≤o上连续，且y=a是f(y)的唯一零点.则方程 (x)=f). (1.2.10) 从y=a上每一点出发的解都唯一的充要条件是 - 证：必要性.反证.若 广< 设(o:%)是带域0<y-4<o中的任一点，不妨设%>0.由Peano定理，方程(12.10) 过(0,0)有至少一个解，设（回）是过该点的一个解因y=a是f)的唯一的零点，不妨 设当y∈(a,a+]时有f()>0.所以随着x从xo减小，x)减小（因(z)=f((》>0) 由于过y=a上任一点的解唯一，所以在x从0减小的过程中始终有(x)>a.故解 0()的左行解的存在区间为(-0,0l.令b-,m6(以，则有b之a.从而 >名-= 这个矛盾说明“尚=∞， 充分性.反证。假设方程(12.10)过某点(o,a)有另一个解，记为y=(,x∈J,其中 J是包含0的开区间.因=(x)和=a是方程(1.2.10)的两个不同的解，所以存在 x1∈J使得h=(c)∈(a-a,a+a)八{a.这样就有 --k 这个矛盾说明方程(1.2.10)过y=a上任一点的解都是唯一的.证毕。 2.齐次方程 方程 是=R() 1.2.11) 和方程 P,山+Q(红，)d=0,PQ是m齐次函数， (1.2.12) 都称为齐次方程.函数P红，)称为m次齐次函数，如果对于任意的s>0都有P(s江，) gmP红， 23
1 ˘!– »©{µAaå=zèTêßêß ~K: f(y) 3 |y − a| ≤ σ ˛ÎY, Ö y = a ¥ f(y) çò":. Kêß y 0 (x) = f(y), (1.2.10) l y = a ˛zò:—u)—çòøá^ᥠZ a±σ a dy f(y) = ∞. y: 7á5. áy. e Z a±σ a dy f(y) < ∞. (x0, y0) ¥ëç 0 < |y − a| < σ •?ò:, ÿî y0 > 0. d Peano ½n, êß (1.2.10) L (x0, y0) kñòá), φ(x) ¥LT:òá). œ y = a ¥ f(y) çò":, ÿî y ∈ (a, a+σ] ûk f(y) > 0. §±ëX x l x0 ~, φ(x) ~ (œ φ 0 (x) = f(φ(x)) > 0). duL y = a ˛?ò:)çò, §±3 x l x0 ~Lß•©™k φ(x) > a. ) φ(x) Ü1)3´mè (−∞, x0]. - b = lim x→−∞ φ(x), Kk b ≥ a. l ∞ > Z y0 b dy f(y) = Z x0 −∞ dx = ∞. ˘ágÒ`² R a±σ a dy f(y) = ∞. ø©5. áy. bêß (1.2.10) L,: (x0, a) k,òá), Pè y = ψ(x), x ∈ J, Ÿ• J ¥ù¹ x0 m´m. œ y = ψ(x) ⁄ y = a ¥êß (1.2.10) ¸áÿ”), §±3 x1 ∈ J ¶ y1 := ψ(x1) ∈ (a − σ, a + σ) \ {a}. ˘“k ∞ = Z y1 a dy f(y) = Z x1 x0 dx < ∞. ˘ágÒ`²êß (1.2.10) L y = a ˛?ò:)—¥çò. y.. 2. ‡gêß êß dy dx = R y x , (1.2.11) ⁄êß P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, P, Q ¥ m ‡gºÍ, (1.2.12) —°è‡gêß. ºÍ P(x, y) °è m g‡gºÍ, XJÈu?ø s > 0 —k P(sx, sy) = s mP(x, y). 23
常微分方程教案：第一章常微分方程基础知识 令y=u工，齐次方程(12.11)和(1.2.12)分别化为变量分离方程 0=回-u x"(P(1,u)+uQ(1,u))dz+xm+Q(1,u)du=0. 通过上述变量分离方程的求解可得到原方程(12.11)和(1.212)的求解 关键点：认识齐次微分方程，掌握齐次微分方程的变换方法。 例题：求解方程 光-y=zam兰 (（1.2.13 解：令=xu.则方程(1.2.13)转化为 密-m 其通解为 sinu=cr. 其中c是任意常数 所以，方程(1.2.13)的通解为 y=ru=x arcsin(cr). 其中c是任意常数。 导入可以转化为齐次微分方程的方程类型： 3.分式线性方程式 方程 蛊（侣） (12.14 可化为变量分离方程.事实上 ·当c-r=0时，(1.2.14)显然是齐次方程。 ·当△：=ag-=0时，不妨设a=p,b=q.令u=m+gg,则方程(12.14)可化为 变量分离方程 器=+（他） 34
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ - y = ux, ‡gêß (1.2.11) ⁄ (1.2.12) ©OzèC˛©lêß x du dx = R(u) − u. ⁄ x m(P(1, u) + uQ(1, u))dx + x m+1Q(1, u)du = 0. œL˛„C˛©lê߶)åêß (1.2.11) ⁄ (1.2.12)¶). 'Ö:µ@£‡gá©êßß›º‡gá©êßCÜê{" ~Kµ¶)êß x dy dx − y = x tan y x . (1.2.13) )µ- y = xu. Kêß (1.2.13) =zè x du dx = tan u, Ÿœ)è sin u = cx, Ÿ• c ¥?ø~Í §±, êß (1.2.13) œ)è y = xu = x arcsin(cx), Ÿ• c ¥?ø~Í" \å±=zè‡gá©êßêßa.µ 3. ©™Ç5êß™ êß dy dx = f ax + by + c px + qy + r , (1.2.14) åzèC˛©lêß. Ø¢˛ • c = r = 0 û, (1.2.14) w,¥‡gêß. • ∆ := aq − bp = 0 û, ÿî a = λp, b = λq. - u = px + qy, Kêß (1.2.14) åzè C˛©lêß du dx = p + f λu + c u + r . 24
第五讲、初等积分法：几类可转化为怡当方程的方程 ·当△≠0时，设（传，）是线性方程组r+y+c=0,严+四+r=0的唯一解.令 x=u+6,y=+,则方程(1.214可化为齐次方程 宏-（供） 例题：求解方程 (1.2.15) 解：令u=x2,v=2方程(1.215)转化为 =u+世+1 (1.216) 代数方程 -u+v+1=0.1+p+3=0 有唯一解0=-1，%=-2.令 4=-1,0=-2 方程(12.16)转化为 皇 令刀=m.上述方程化为 傻鼎 这是变量分离方程，求解得 In[(w2+1)]+2arctan w=c. 其中c是任意常数 带回原变量得，方程(1.2.15)的通积分为 he2+P++明+2m指=6 其中c是任意常数。 4.Riccati方程 25
1 ˘!– »©{µAaå=zèTêßêß • ∆ 6= 0 û, (ξ, η) ¥Ç5êß| ax + by + c = 0, px + qy + r = 0 çò). - x = u + ξ, y = w + η, Kêß (1.2.14) åzè‡gêß dw du = f au + bw pu + qw . ~Kµ¶)êß dy dx = −x 3 + xy2 + x x 2y + y 3 + 3y . (1.2.15) )µ- u = x 2 , v = y 2 , êß (1.2.15) =zè dv du = −u + v + 1 u + v + 3 . (1.2.16) ìÍêß −u + v + 1 = 0, u + v + 3 = 0 kçò) u0 = −1, v0 = −2. - u = ξ − 1, v = η − 2 êß (1.2.16) =zè dη dξ = −ξ + η ξ + η . - η = wξ. ˛„êßzè ξ dw dξ = − w 2 + 1 w + 1 ˘¥C˛©lêß, ¶) ln[(w 2 + 1)ξ 2 ] + 2 arctan w = c, Ÿ• c ¥?ø~Í. ë£C˛, êß (1.2.15) œ»©è ln (x 2 + 1)2 + (y 2 + 2)2 + 2 arctan y 2 + 2 x 2 + 1 = c, Ÿ• c ¥?ø~Í. 4. Riccati êß 25