第三讲、初等积分法：恰当方程与积分因子 证毕 引导学生思考：定理中条件所起的作用？与微积分中线积分的联系？ ·在单连通区域R上，在条件(1.2.2)下，线积分 Pdz+Qdy, 的值与积分路径无关.因此在求（红，）时，可以选取使计算尽量简单的初始点(0,0 和从(0，如)到（区，）的易于计算的路径.比如取先从(0，%)到(，狗，再从（任，） 到（红，）的路径得到通积分 红)-Pso出+CQz0h ·定理4中的矩形区域R可以是任何单连通的凸区域， 恰当方程的例子 判定方程 (ye2+2+y2)dz+(e+2xg)dy=0, 是否是怡当方程.如果是恰当方程，求其通积分. 解：令P=e2+2c+,Q=c2+2x.则有乃，=Qz=e2+2.故为恰当方程 取(0.0)为初始点，选取路径(0,0)-一（工，0）和（，0）-→（红，.则有通积分 P(e,O)ds+pQ(z.t)d=2e+e'y+r-2. 附注：恰当方程有时也可以用分项组合凑全微分的方法求解.比如 (e"y+y2cosr)dr+(e+2ysin+y)dy =(e"ydz+e"dy)+(y cos rdr +2ysin rdy)+ydy 问题引导：一个不是恰当方程的方程能够转化为恰当方程求解？ 6
1n˘!– »©{µTêßÜ»©œf y.. ⁄Æ)g: ½n•^á§Âä^? Üứ•Ç»©ÈXº • 3¸Îœ´ç R ˛, 3^á (1.2.2) e, Ç»© Φ(x, y) = Z (x,y) (x0,y0) P dx + Qdy, äÜ»©¥ªÃ'. œd3¶ Φ(x, y) û, 屿¶O鶲{¸–©: (x0, y0) ⁄l (x0, y0) (x, y) ¥uO饪. 'Xkl (x0, y0) (x, y0), 2l (x, y0) (x, y) ¥ªœ»© Φ(x, y) = Z x x0 P(s, y0)ds + Z y y0 Q(x, t)dt. • ½n 4 •›/´ç R å±¥?¤¸Îœ‡´ç. Têß~f ½êß (yex + 2e x + y 2 )dx + (e x + 2xy)dy = 0, ¥ƒ¥Têß. XJ¥Têß, ¶Ÿœ»©. ): - P = yex + 2e x + y 2 , Q = e x + 2xy. Kk Py = Qx = e x + 2y. èTêß. (0, 0) è–©:, ¿¥ª (0, 0) −→ (x, 0) ⁄ (x, 0) −→ (x, y). Kkœ»© Φ(x, y) = Z x 0 P(s, 0)ds + Z y 0 Q(x, t)dt = 2e x + e x y + xy2 − 2. N5: Têßkûèå±^©ë|‹n á©ê{¶). 'X e x y + y 2 cos x dx + (e x + 2y sin x + y) dy = (e x ydx + e x dy) + y 2 cos xdx + 2y sin xdy + ydy = d(e x y) + d(y 2 sin x) + d 1 2 y 2 . ØK⁄: òáÿ¥TêßêßU =zèTê߶)º 16
常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 积分因子法的定义 对称形式的方程(1.2.1)可能不是恰当方程，但有时乘以某个恒不为零的因子（红，）后 成为恰当方程，即 (x,yP(x,y)dr+(x,y)Q(x,y)dy=0,(x,∈， (1.2.40 是恰当方程.称4（红，）是方程(1.21)在中的积分因子.注意到，方程(12.1)和(12.4) 在上是同解的（因μ（红，）≠0)，故求解方程(1.2.1)等价于求解方程(1.2.4) 问题引导：方程(12.1)是否存在积分因子？如何判定？ 积分因子法存在的判定 命题5.方程(1.2.1)在n上有积分因子当且仅当关于μ的偏微分方程 P器-Q器=（器-盼）4 在几上有非零解.特别地， ·方程(121)有只含工的积分因子的充要条件是 P(,)-Qx(a, Q(T.y) 是x的函数，记为G(x),则积分因子为()=eC证 ·方程(1.2.1)有只含y的积分国子的充要条件是 是y的函数，记为H(,则积分国子为)=eH( 证：由恰当方程的定义可以直接推得，从略 总结：掌握恰当方程的判定与全微分函数的求法。熟悉和理解积分因子的定义和结论 作业：习题一7.1,7.2. 17
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ »©œf{½¬ È°/™êß (1.2.1) åUÿ¥Têß, kû¶±,áðÿè"œf µ(x, y) §èTêß, = µ(x, y)P(x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0, (x, y) ∈ Ω, (1.2.4) ¥Têß. ° µ(x, y) ¥êß (1.2.1) 3 Ω •»©œf. 5ø, êß (1.2.1) ⁄ (1.2.4) 3 Ω ˛¥”) (œ µ(x, y) 6= 0), ¶)êß (1.2.1) du¶)êß (1.2.4). ØK⁄: êß (1.2.1) ¥ƒ3»©œfºX¤½º »©œf{3½ ·K5. êß (1.2.1) 3 Ω ˛k»©œfÖ='u µ †á©êß P ∂µ ∂y − Q ∂µ ∂x = ∂Q ∂x − ∂P ∂y µ, 3 Ω ˛kö"). AO/, • êß (1.2.1) kê¹ x »©œføá^ᥠPy(x, y) − Qx(x, y) Q(x, y) , ¥ x ºÍ, Pè G(x), K»©œfè µ(x) = e R G(x)dx . • êß (1.2.1) kê¹ y »©œføá^ᥠQx(x, y) − Py(x, y) P(x, y) , ¥ y ºÍ, Pè H(y), K»©œfè µ(y) = e R H(y)dx . y: dTêß½¬å±ÜÌ, l—. o(µ›ºTêß½Ü á©ºÍ¶{"ŸG⁄n)»©œf½¬⁄(ÿ äíµSKò 7.1, 7.2. 17
常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 第四讲、初等积分法：积分因子的性质和例子 教学目的与目标 ·知识传授： 一积分因子的求法实例和积分因子的性质 一熟悉几类重要的方程（线性方程、Bernoul方程），及其通解 ·能力素质 一学会熟练运用积分因子求解方程 回顾积分因子法：与学生互动回忆积分因子存在的判定和求法。从而使学生容易理解 下面的例子。 积分因子法的例子：线性方程与Bernoulli方程 例题：求解方程 0+Key=9er,n≥0 (1.2.5) 其中p(x),q(a)是某开区间(a,3)上的连续函数. 解：首先将方程(12.5)写成对称形式 (p()y-q(x)y")dr+dy =0. (1.2.6) 令P,=py-g(,Q,)=1 如果n=0,方程(1.25)称为线性方程.因(D,-Q)/Q=,方程(1.2.6)有积分因 子(c)=eJ恤.从而通积分为 (红，)=yef re)d-q(z)eJp(r)drdr. 故线性方程(12.5)的通解为 y=e-Frad(c+e)efr恤） 其中c是任意常数 如果n=1,方程(1.25)称为线性齐次方程.因(-Q)/Q=)-q),方程(12.6) 有积分因子(c)=e厂()-》恤.从而通积分为 18
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ 1o˘!– »©{µ»©œf5ü⁄~f Æ8Ü8I • £D«µ – »©œf¶{¢~⁄»©œf5ü – ŸGAaáêߣÇ5êß!Bernoulliêߧß9Ÿœ) • UÂÉüµ – ƨŸˆ$^»©œf¶)êß £»©œf{µÜÆ)pƒ££»©œf3½⁄¶{"l ¶Æ)N¥n) e°~f" »©œf{~fµÇ5êßÜBernoulliêß ~K: ¶)êß dy dx + p(x)y = q(x)y n , n ≥ 0, (1.2.5) Ÿ• p(x), q(x) ¥,m´m (α, β) ˛ÎYºÍ. ): ƒkÚêß (1.2.5) §È°/™ (p(x)y − q(x)y n )dx + dy = 0. (1.2.6) - P(x, y) = p(x)y − q(x)y n, Q(x, y) = 1. XJ n = 0, êß (1.2.5) °èÇ5êß. œ (Py − Qx)/Q = p(x), êß (1.2.6) k»©œ f µ(x) = e R p(x)dx . l œ»©è Φ(x, y) = ye R p(x)dx − Z q(x)e R p(x)dxdx. Ç5êß (1.2.5) œ)è y = e − R p(x)dx c + Z q(x)e R p(x)dxdx , Ÿ• c ¥?ø~Í. XJ n = 1, êß (1.2.5) °èÇ5‡gêß. œ (Py − Qx)/Q = p(x) − q(x), êß (1.2.6) k»©œf µ(x) = e R (p(x)−q(x))dx . l œ»©è Φ(x, y) = ye R (p(x)−q(x))dx . 18
第四讲、初等积分法：积分因子的性质和例子 故线性齐次方程(1.2.5)的通解为 =ce--9池，其中c是任意常数 如果n>0且n≠1，方程(L.2.5)称为Bernoulli方程.此时不能直接运用命题5.易 知y=0是方程(1.2.5)的解.当y≠0时，对称方程(12.6)等价于 (p()y-"-q())dr+y"dy=0. (1.2.7) 令Pz,)=红)-n-q,Q(红，)=”.则有(B-Q)/Q=(1-npe),所以方程 (12.7有积分因子4)=e-ne恤.对方程 ef(-n)(a)dr (p()yn-()dr+yef (n)(dr dy =0. 积分得到(1.2.7)的通积分 (红，)=-nef-met-1-n）q(r)c-mpat 所以Bernoulli方程有解y=0和通积分 y-nef(-n)p(e)dr-(1-n)/q()ef(i-n)p(e)dr dr =c. 其中c是任意常数 思考线性方程与Bernoull贴方程的联系 ·线性方程的通积分可以从Bernoul方程的通积分中令n=0得到. 。Bernoulli方程当y≠0时可以通过变换z=y'-"转化为线性方程 +(1-n)p(x):=(1-n)a(r). 求积分因子法深入探讨：分项组合 通过例子引入进一步的方法： 给定一个对称形式的一阶微分方程(1.21)，有时不能直接用命题5判定积分因子的存 在性，需要分项组合找积分因子.例如，方程 ydr +2(x2-ry2)dy =0, (1.2.8) 19
1o˘!– »©{µ»©œf5ü⁄~f Ç5‡gêß (1.2.5) œ)è y = ce− R (p(x)−q(x))dx , Ÿ• c ¥?ø~Í. XJ n > 0 Ö n 6= 1, êß (1.2.5) °è Bernoulli êß. dûÿUÜ$^·K 5. ¥ y = 0 ¥êß (1.2.5) ). y 6= 0 û, È°êß (1.2.6) du (p(x)y 1−n − q(x))dx + y −n dy = 0. (1.2.7) - P(x, y) = p(x)y 1−n − q(x), Q(x, y) = y −n. Kk (Py − Qx)/Q = (1 − n)p(x), §±êß (1.2.7) k»©œf µ(x) = e R (1−n)p(x)dx . Èêß e R (1−n)p(x)dx(p(x)y 1−n − q(x))dx + y −n e R (1−n)p(x)dxdy = 0, »©(1.2.7) œ»© Φ(x, y) = y 1−n e R (1−n)p(x)dx − (1 − n) Z q(x)e R (1−n)p(x)dxdx. §± Bernoulli êßk) y = 0 ⁄ œ»© y 1−n e R (1−n)p(x)dx − (1 − n) Z q(x)e R (1−n)p(x)dxdx = c, Ÿ• c ¥?ø~Í. gÇ5êßÜBernoulliêßÈX: • Ç5êßœ»©å±l Bernoulli êßœ»©•- n = 0 . • Bernoulli êß y 6= 0 û屜LCÜ z = y 1−n =zèÇ5êß dz dx + (1 − n)p(x)z = (1 − n)q(x). ¶»©œf{ \&?µ©ë|‹ œL~f⁄\?ò⁄ê{µ â½òáÈ°/™ò á©êß (1.2.1), kûÿUÜ^·K 5 ½»©œf 35, Iá©ë|‹È»©œf. ~X, êß y 3 dx + 2(x 2 − xy2 )dy = 0, (1.2.8) 19
常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 很难用己有的办法求解.但将方程(1.2.8)分项组合 (y dr-2xy2dy)+2x2dy =0. 不难发现前者有积分因子山1()=y5,后者有积分因子2()=x2.如何利用两者的积分 因子得到(1.2.8)的积分因子. 分项组合求积分因子的方法： 命题6.对于积分因子，下列结论成立. 。设4（红，）是(12.1)的积分因子，且有 4(,P(,)dz+u(红，)Q(x,)dy=dΦ（红，， 则对任意的连续可微函数g),4(x,)g((工，)是（1.2.1)的积分因子 ·将方程(1.2.1)分组成 (B(c,)dr+Q(c,)d)+(B(,y)dr+Q2(e,)d)=0. 若存在（红，，重1（红，2（红，，重2（红，）使得 a(t.v)P()dr+()Q(,y)dy =d(). 2(红，)乃（红，d+2(红，Q2(红，=d2(红，， 且可取得适当的g1),9(使得1（④）=292().则（红，）=19（④）是(12.1) 的积分因子 证：学生练习 分项组合求积分因子法的运用： 例题：求解方程(12.8，i.e y3d+2(x2-xy2)=0 解：首先y=0是方程(12.8)的解. 当y≠0时，方程y3dc-2x2dy=0有积分因子和通积分分别为 1(红，)=y5,1(红，)=y2 20
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ ÈJ^Ækç{¶). Úêß (1.2.8) ©ë|‹ (y 3 dx − 2xy2 dy) + 2x 2 dy = 0, ÿJuycˆk»©œf µ1(y) = y −5 , ˆk»©œf µ2(x) = x −2 . X¤|^¸ˆ»© œf (1.2.8) »©œf. ©ë|‹¶»©œfê{: ·K6. Èu»©œf, e(ÿ§·. • µ(x, y) ¥ (1.2.1) »©œf, Ök µ(x, y)P(x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = dΦ(x, y), KÈ?øÎYåáºÍ g(·), µ(x, y)g(Φ(x, y)) ¥ (1.2.1) »©œf. • Úêß (1.2.1) ©|§ (P1(x, y)dx + Q1(x, y)dy) + (P2(x, y)dx + Q2(x, y)dy) = 0. e3 µ1(x, y), Φ1(x, y), µ2(x, y), Φ2(x, y) ¶ µ1(x, y)P1(x, y)dx + µ1(x, y)Q1(x, y)dy = dΦ1(x, y), µ2(x, y)P2(x, y)dx + µ2(x, y)Q2(x, y)dy = dΦ2(x, y), Öå· g1(·), g2(·) ¶ µ1g1(Φ1) = µ2g2(Φ2). K µ(x, y) := µ1g1(Φ1) ¥ (1.2.1) »©œf. y: Æ)ˆS. ©ë|‹¶»©œf{$^µ ~K: ¶)êß (1.2.8), i.e. y 3 dx + 2(x 2 − xy2 )dy = 0. ): ƒk y = 0 ¥êß (1.2.8) ). y 6= 0 û, êß y 3dx − 2xy2dy = 0 k»©œf⁄œ»©©Oè µ1(x, y) = y −5 , Φ1(x, y) = xy−2 . 20