第二讲、微分方程解的几何解释、存在和唯一性、实际模型的推导 其中>0是物质衰变的比例常数.该例描述放射性物质衰变的规律。 3.人口模型人口问题是非常复杂的，它联系到社会学和生物学等诸多因素.本例考虑一些 理想化的情况， 设人口在某时刻t的数量为x(),人口的增长率为，).则人口的变换规律为 (t)=k(t,x)x(t): 注：人口的增长率为出生率和死亡之差，它可正可负. 在资源极其丰富的情况下，人口增长率k可以看作常数.这是Malthus人口理论的基 础.事实上，随者人口增长带来地区环境的破坏，以及人口之间对有限资源的相互竞争，人 口增长率可以取为k=(1-),其中常数L称为环境容量.该模型较为实际的反映了人口 的变换.当然对于具体的实际情况，人口增长率可以取其它合适的函数 4.数学摆的运动数学摆是理想的质量为m摆长为（的单摆，其只在重力作用下运动.规定 摆线离开铅直线向右的角度为正，设x为单摆的摆线与铅直线的夹角。在数学摆运动的切 线方向运用牛顿第二定律得 ml丘=-mgsin r, 即 主=-7sinx 该方程描述了单摆的运动规律. 5.RLC回路电流考虑由电阻(R)、电感(L)、电容(C)和电源构成的串联电路.设在t时 刻电源的电压为E),电路的电流强度为1).则该时刻电阻、电感和电容两端的电压分别 是 UR(t)=RI(t).UL(t)=LI'(t).Uc(t)=I(s)ds 由电路工作的Kirchhoff定律得 UR(t)+UL(t)+Uc(t)=E(t) 对方程两边关于t求导数得到关于回路电流满足的二阶微分方程 L")+R')+I=E). 问题探究： 11
1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì Ÿ• k > 0 ¥‘üPC'~~Í. T~£„ò5‘üPC5Æ. 3. <ù . <ùØK¥ö~E,, ßÈX¨Æ⁄)‘Æ ÃıœÉ. ~ƒò nézú¹. <ù3,ûè t Ͳè x(t), <ùO«è k(t, x). K<ùCÜ5Æè x˙(t) = k(t, x)x(t). 5µ<ùO«è—)«⁄k É , ßååK. 3] 4Ÿ¥Lú¹e, <ùO« k å±wä~Í. ˘¥ Malthus <ùnÿƒ :. Ø¢˛, ëX<ùOë5/´Ç¸ªÄ, ±9<ùÉmÈkÅ] Épø, < ùO«å±è k = a(1 − x L ), Ÿ•~Í L °èǸN˛. T .è¢SáN <ù CÜ. ,Èu‰N¢Sú¹, <ùO«å±Ÿß‹·ºÍ. 4. ÍÆ{$ƒ ÍÆ{¥néü˛è m {è l ¸{, Ÿê3Âä^e$ƒ. 5½ {ÇlmYÜÇïm›è, x è¸{{ÇÜYÜÇY. 3ÍÆ{$ƒÉ Çêï$^⁄Ó1½Æ mlx¨ = −mg sin x, = x¨ = − m l sin x. Têߣ„ ¸{$ƒ5Æ. 5. RLC £¥>6 ƒd>{ (R)!>a (L)!>N (C)⁄> §GÈ>¥. 3 t û è> >ÿè E(t), >¥>6r›è I(t). KTûè>{!>a⁄>N¸‡>ÿ©O ¥ UR(t) = RI(t), UL(t) = LI0 (t), UC (t) = 1 C Z I(s)ds. d>¥Ûä Kirchhoff ½Æ UR(t) + UL(t) + UC (t) = E(t). Èê߸>'u t ¶Í'u£¥>6˜v á©êß LI00(t) + RI0 (t) + 1 C I(t) = E 0 (t). ØK&ƒµ 11
常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 ·如何建立探照灯的常微分方程模型以刻画探照灯的形状 ·如何建立船在流动的水中到达河对岸的常微分方程模型以刻画船运行的轨迹。 以上给出了力学、电学和生物学上一些简单的实际模型满足的动力学方程的推导 问题：如何得到上述微分方程的解，从而进一步理解和掌握这些实际问题的运动规律 该问题为下一讲开始讲授初等积分法做好铺垫。 作业：习题一3,5,6.2,6.3
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ • X¤Ô·&Ï ~á©êß .±èx&Ï /G • X¤Ô·E36ƒY•à‡ÈW~á©êß .±èxE$1;," ±˛â— ÂÆ!>Æ⁄)‘Æ˛ò {¸¢S .˜vƒÂÆêßÌ. ØKµX¤˛„á©êß), l ?ò⁄n)⁄›º˘ ¢SØK$ƒ5Æ. TØKèeò˘m©˘«– »©{â–£=" äíµSKò 3, 5, 6.2, 6.3" 12
常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 第三讲、初等积分法：恰当方程与积分因子 教学目的与目标 ·知识传授： 一恰当方程的定义和求解方法 -积分因子判定 ·能力素质： -学会用微积分求解恰当方程 一训练学生计算能力，以及从简单结论中发现新问题和重要现象的能力 本讲的重点：恰当方程的判定，与积分因子存在性的判定 S1.2初等积分法 本节介绍通过初等积分法就可以求解的几类常微分方程的求解方法。 恰当方程的定义 将一阶微分方程 密=f北 中的自变量x和因变量y看成对等的，则该方程可以写成对称形式： f(x.y)dz-dy =0. 考虑对称形式的一阶微分方程 P(.y)dr+Q(z,y)dy =0. (12.1) 其中P(红，)和Q(x,)在开区域CR2中连续. 方程(1.2.1)称为怡当方程或全微分方程，如果存在？上的可微函数（红，）使得 dΦ（红，）=P(红，)d证+Q(z,)dy,(a,)∈. 13
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ 1n˘!– »©{µTêßÜ»©œf Æ8Ü8I • £D«µ – Têß½¬⁄¶)ê{ – »©œf½ • UÂÉüµ – ƨ^ứ¶)Têß – ‘ˆÆ)OéUÂ, ±9l{¸(ÿ•uy#ØK⁄áyñU ˘:µTêß½ßÜ»©œf35½ §1.2 – »©{ !0 œL– »©{“屶)Aa~á©ê߶)ê{. Têß½¬ Úò á©êß dy dx = f(x, y), •gC˛ x ⁄œC˛ y w§È , KTêß屧Ȱ/™µ f(x, y)dx − dy = 0. ƒÈ°/™ò á©êß P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (1.2.1) Ÿ• P(x, y) ⁄ Q(x, y) 3m´ç Ω ⊂ R 2 •ÎY. êß (1.2.1) °èTêß½ á©êß, XJ3 Ω ˛åáºÍ Φ(x, y) ¶ dΦ(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, (x, y) ∈ Ω. 13
第三讲、初等积分法：恰当方程与积分因子 此时称（红，）=c(c为任意常数)是方程(12.1)的通积分. 引导学生观察：(12.1)是恰当方程的等价条件是什么？ 结论很简单：等价于存在可微函数（红，）使得 =(x,)=P(,),重(e,）=Q(，，(,)∈ 其中重2和重，分别表示西关于工和y的偏导数 尽管这个观察的结论简单，但很有意义。 引导学生进一步思考讨论：在等价条件中对P关于y求偏导，对Q关于x求偏导， ·得到什么？ ·与微积分中的哪些概念和结论可能相联系？ 这些观察、讨论和思考将对下面理解恰当方程的判定和全微分函数的构造带来很大的 方便。 通积分在求解中的重要作用 在恰当方程的判定之前，首先说明通积分在求解中的重要作用 命题3.若（红，）=c(c为任意常数)是方程12.1)在内的通积分，则(，)=c的解 当且仅当它是(12.1)在0中的解。 证：必要性 分析证明的关键：解的定义 因为重和重，不同时为零，不妨设重，≠0.对于c∈R,设y=u,正∈I是根据隐 函数存在定理从（红，）=c中求出的解.则有（红，u》三G,工∈【.从而 0=:u=$,,e》+,E,eg. dr 即 P红，证+Q(红，dy-=z(,u(+，,4(》d三0，∈1 这说明从（红，）=c中求出的函数y=u()是方程(1.2.1)的解. 充分性. 14
1n˘!– »©{µTêßÜ»©œf dû° Φ(x, y) = c (c è?ø~Í) ¥êß (1.2.1) œ»©. ⁄Æ)* µ(1.2.1) ¥Têß d^á¥üoº (ÿÈ{¸µ du3åáºÍ Φ(x, y) ¶ Φx(x, y) = P(x, y), Φy(x, y) = Q(x, y), (x, y) ∈ Ω, Ÿ• Φx ⁄ Φy ©OL´ Φ 'u x ⁄ y †Í. ¶+˘á* (ÿ{¸ßÈkø¬" ⁄Æ)?ò⁄g?ÿµ3 d^á•È P 'u y ¶†ßÈ Q 'u x ¶†ß • üoº • Üứ•= Vg⁄(ÿåUÉÈXº ˘ * !?ÿ⁄gÚÈe°n)Têß½⁄ ᩺ÍEë5Èå êB" œ»©3¶)•áä^ 3Têß½Éc߃k`²œ»©3¶)•áä^ ·K3. e Φ(x, y) = c (c è?ø~Í) ¥êß (1.2.1) 3 Ω Sœ»©, K Φ(x, y) = c ) Ö=ߥ (1.2.1) 3 Ω •). y: 7á5. ©¤y²'Öµ)½¬ œè Φx ⁄ Φy ÿ”ûè", ÿî Φy 6= 0. Èu c ∈ R, y = u(x), x ∈ I ¥ä‚¤ ºÍ3½nl Φ(x, y) = c •¶—). Kk Φ(x, u(x)) ≡ c, x ∈ I. l 0 ≡ dΦ(x, u(x)) dx = Φx(x, u(x)) + Φy(x, u(x))u 0 (x), = P(x, y)dx + Q(x, y)dy|y=u(x) = Φx(x, u(x))dx + Φy(x, u(x))du ≡ 0, x ∈ I. ˘`²l Φ(x, y) = c •¶—ºÍ y = u(x) ¥êß (1.2.1) ). ø©5. 14
常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 分析引导：如何证明一个函数沿着解是常数？ 设y=u(,x∈1或x=(),y∈J是方程(12.1)在0内的解.不妨考虑前者，往证 (红，u(口》，x∈I恒等于一个常数.事实上，因（红，）在n内可微，所以 2e=sEe+see=Pu,e+Q=agNgEa:eL 这就证明了沿者方程(1.2.1)在？内的任一解（红，）都取常值.命题证毕 恰当方程的判定 通积分在对称形式的一阶微分方程的求解中起着如此重要的作用 问题： ·如何判定方程(12.1)是恰当方程？ 。如果(1.2.1)是恰当，如何求通积分？ 定理4.（恰当方程的判定）设P(工，小，Q(红，)及一阶偏导数P,(任，，Q(红，)在矩形区城 RCR2上连续.则(12.1)是恰当方程当且仅当 P(a,0=Q(红，，(a,)eR 1.2.2) 证：必要性.由假设，存在R上的可微函数（红，）使得 Φ(e,)=P(c,重（红，）=Q(红小，（红，）∈R. 故有 ,(红，)=(红，.Q(红，=（，，（，）∈R 其中w=严以，=严. 0roy Oyor 由假设重zy(红，)和重(，)在R上连续，所以重g(红，)-重r(亿，，（区，）∈R.从 而P(红，)=Q(红，，（任，）∈R 充分性.任取(z0,0)∈R令 z,0)-Pshs+Qo,恤 (12.3 则本=P红，.因P(红，)=Q(红，，所以 ,=(+Qu,)=s+Qo,=Q， 15
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ ©¤⁄µX¤y²òáºÍ˜X)¥~ͺ y = u(x), x ∈ I ½ x = v(y), y ∈ J ¥êß (1.2.1) 3 Ω S). ÿîƒcˆ, y Φ(x, u(x)), x ∈ I ð uòá~Í. Ø¢˛, œ Φ(x, y) 3 Ω Såá, §± dΦ dx (x, u(x)) = Φx(x, u(x)) + Φy(x, u(x))u 0 (x) = P(x, u(x)) + Q(x, u(x))u 0 (x) ≡ 0, x ∈ I. ˘“y² ˜Xêß (1.2.1) 3 Ω S?ò) Φ(x, y) —~ä. ·Ky.. Têß½ œ»©3È°/™ò á©ê߶)•ÂXXdáä^. ØK: • X¤½êß (1.2.1) ¥Têߺ • XJ (1.2.1) ¥T, X¤¶œ»©º ½n4. (Têß½) P(x, y), Q(x, y) 9ò †Í Py(x, y), Qx(x, y) 3›/´ç R ⊂ R 2 ˛ÎY. K (1.2.1) ¥TêßÖ= Py(x, y) = Qx(x, y), (x, y) ∈ R. (1.2.2) y: 7á5. db, 3 R ˛åáºÍ Φ(x, y) ¶ Φx(x, y) = P(x, y), Φy(x, y) = Q(x, y), (x, y) ∈ R. k Py(x, y) = Φxy(x, y), Qx(x, y) = Φyx(x, y), (x, y) ∈ R, Ÿ• Φxy = ∂ 2Φ(x, y) ∂x∂y , Φyx = ∂ 2Φ(x, y) ∂y∂x . db Φxy(x, y) ⁄ Φyx(x, y) 3 R ˛ÎY, §± Φxy(x, y) = Φyx(x, y), (x, y) ∈ R. l Py(x, y) = Qx(x, y), (x, y) ∈ R. ø©5. ? (x0, y0) ∈ R. - Φ(x, y) = Z x x0 P(s, y)ds + Z y y0 Q(x0, t)dt. (1.2.3) K Φx = P(x, y). œ Py(x, y) = Qx(x, y), §± Φy(x, y) = Z x x0 Py(s, y)ds + Q(x0, y) = Z x x0 Qx(s, y)ds + Q(x0, y) = Q(x, y). 15