常微分方程教案：第一章常微分方程基础知识 第二讲、微分方程解的几何解释、存在和唯一性、实际模型的推导 教学目的与目标 ·知识传授： -从几何直观上认识解的含义、及解与微分方程的直观联系。 ,了解和熟悉保证微分方程解的存在、唯一性的条件。 一具体问题如何建立数学模型 。能力素质： 一培养学生学习常微分方程的几何直观性和空间想象能力 实际问题的建模能力 互动回顾：了解学生对微分方程的初步认识，以及对基本概念和知识的掌握？ 引导分析：解作为一个函数，它在空间的图是什么，从而引入 1.解的几何解释 ·考虑如下一阶微分方程 主=f6,x, (1.14 其中∫在R2的某开区域2上连续. ·设x=(),t∈(a,)是方程(1.14)的一个解 则{化，)：te(a,}是中的一条曲线，称之为方程(1.1.4)的积分曲线 设问：积分曲线上点的切线的斜率与方程之间的关系如何？ 回答： ·积分曲线在其上任一点(o,p(to)》切线的斜率(o)等于f(o,(to)》. ·这说明对于？中任一点（化，x),如果有积分曲线通过，则通过该点的积分曲线的切线斜 率为f化，x 6
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ 1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì Æ8Ü8I • £D«µ – lA¤Ü*˛@£)¹¬!9)Üá©êßÜ*ÈX" – )⁄ŸGyá©êß)3!çò5^á" – ‰NØKX¤Ô·ÍÆ . • UÂÉüµ – Æ)ÆS~á©êßA¤Ü*5⁄òméñU – ¢SØKÔ U pƒ£µ )Æ)Èá©êß–⁄@£ß±9ȃ Vg⁄£›ºº ⁄©¤µ)äèòáºÍßß3òm„¥üoßl ⁄\ 1. )A¤)º • ƒXeò á©êß x˙ = f(t, x), (1.1.4) Ÿ• f 3 R 2 ,m´ç Ω ˛ÎY. • x = φ(t), t ∈ (α, β) ¥êß (1.1.4) òá). K {(t, φ(t)) : t ∈ (α, β)} ¥ Ω •ò^Ç, °Éèêß (1.1.4) »©Ç. ص»©Ç˛:ÉÇ«ÜêßÉm'XX¤º £âµ • »©Ç3Ÿ˛?ò: (t0, φ(t0)) ÉÇ« φ 0 (t0) u f(t0, φ(t0)). • ˘`²Èu Ω •?ò: (t, x), XJk»©ÇœL, KœLT:»©ÇÉÇ «è f(t, x). 6
第二讲、微分方程解的几何解释、存在和唯一性、实际模型的推导 几何解释的引伸： ·对V化，x)∈，过该点作斜率为f化，)的小线段.中所有这些小线段的全体构成的 集合称为方程(1.1.4)的线素场. ·线素场最直观的例子是条形磁铁周围的磁场：在一个细长的具有正负两极的条形磁铁 周围撒上一些短小的铁针，它们将按照磁场的方向在磁铁周围排列.所有这些有规则排 列的铁针就构成了一个磁场所满足的常微分方程的线素场.本书不具体建立条形磁铁 的磁场满足的方程，有兴趣的同学可参见：丁同仁、李承治的常微分方程p16,例3， 启发与思考： ·对于给定的微分方程，线素场的作用如何？ ·线素场可以启发我们去思考微分方程的那些问题？ 进一步理解： 。即使不知道方程的解，也可以利用线素场近似地作出方程的积分曲线. ·线素场在现代微分方程的发展起了重要的作用，它微分方程几何理论产生的核心。 问题：通过解的定义与上一讲的例子，引导学生思考 ·给定(o,x0)∈，方程(1.1.4④)满足初始条件x(to)=0的解是否存在？ 。如果初值问题的解存在，那么解是否唯一？ ·上述问题导入本讲的核心内容：解的存在唯一性定理 ·以后为方便起见，将方程(11.4)满足初始条件x(to)=o的解也说成方程(1.1.4)过初 始点(o,0)的解，或方程(1.1.④)过初始点(o,0)的积分曲线。 7
1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì A¤)º⁄µ • È ∀ (t, x) ∈ Ω, LT:ä«è f(t, x) Ç„. Ω •§k˘ Ç„ N§ 8‹°èêß (1.1.4) ÇÉ|. • ÇÉ|ÅÜ*~f¥^/^c±å^|µ3òá[‰kK¸4^/^c ±åg˛ò ·c, ßÇÚUÏ^|êï3^c±å¸. §k˘ k5K¸ c“§ òá^|§˜v~á©êßÇÉ|. ÷ÿ‰NÔ·^/^c ^|˜vêß, k,”ÆåÎѵ¶”;!o´£~á©êß[p.16, ~3]. ÈuÜgµ • Èuâ½á©êßßÇÉ|ä^X¤º • ÇÉ|å±Èu·Çgá©êß@ ØKº ?ò⁄n)µ • =¶ÿêß)ßèå±|^ÇÉ|Cq/ä—êß»©Ç. • ÇÉ|3yìá©êßu– áä^ßßá©êßA¤nÿ)ÿ%" ØKµœL)½¬Ü˛ò˘~fß⁄Æ)g • â½ (t0, x0) ∈ Ω, êß (1.1.4) ˜v–©^á x(t0) = x0 )¥ƒ3º • XJ–äØK)3, @o)¥ƒçòº 5: • ˛„ØK\ ˘ÿ%SNµ)3çò5½n • ±èêBÂÑ, Úêß (1.1.4) ˜v–©^á x(t0) = x0 )è`§êß (1.1.4) L– ©: (t0, x0) ), ½êß (1.1.4) L–©: (t0, x0) »©Ç. 7
常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 存在唯一性问题的历史回顾 上述问题在常微分方程的发展史上经历了很长的时间 ·法国数学家Augustin Cauchy(1789-1857)于19世纪20年代建立了常微分方程初值问 题解的存在唯一性定理（正因为如此，初值问题又称为Cauchy问题 。德国数学家Rudolf Lipschitz(1832-1903)于1876年减弱了Cauchy关于初值问题解的 存在唯一性定理的条件 。后来法国数学家Charles Emile Picard(1856-1941)和芬兰数学家Ernst Linde6f(1870- 1946)给出Lipschitz结果的新证明，特别是Picard于1s93年用逐次逼近法证明了 Lipschitz定理（后来的大多数教课书都用Picard的证明，因此该定理又称为Picard定 理，或Cauchy-Lipschitz定理，或Picard-Lindel6f定理). ·Peano放宽了Picard定理的条件，证明连续性即可保证解的存在性（当然仅有连续性 无法保证唯一性)，Peano的结果后人称之为Peano定理 ·关于常微分方程解的存在和唯一性还有很多其它进一步的推广和改进，但超出了本课 程的知识范围，不在此介绍了 存在唯一性定理的叙述 下面的定理保证了方程(1.1.4)初值问题解的存在性和唯一 定理1.(Picard定理)设f化，x)在开区城QeR2上连续，且关于x满足局部Lipschitz条 件，即对化，）∈，存在低，x)的邻域Uz,及常数L4z,使得对（低，），（传，x2)∈e都 有 f6,x)-ft,x2川≤L1- 则方程(11.4)过任一点(o,o)∈几都有唯一的解，记为x=),t∈(a,3). 引导和启发 。进一步解释局部Lipschitz条件： ·引导学生思考：定理中的两个条件连续性和局部Lipschitz条件的作用如何？ 8
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ 3çò5ØK{§£ ˛„ØK3~á©êßu–§˛²{ Èûm. • {IÍÆ[ Augustin Cauchy (1789–1857) u 19 V 20 cìÔ· ~á©êß–äØ K)3çò5½n (œèXd, –äØKq°èCauchy ØK). • IÍÆ[ Rudolf Lipschitz (1832–1903) u 1876 c~f Cauchy 'u–äØK) 3çò5½n^á. • 5{IÍÆ[ Charles Emile Picard (1856–1941) ´ ⁄ •=ÍÆ[ Ernst Lindel¨of (1870– 1946) â— Lipschitz (J#y², AO¥ Picard u 1893 c^Åg%C{y² Lipschitz ½n (5åıÍë÷—^ Picard y², œdT½nq°è Picard ½ n, ½ Cauchy–Lipschitz ½n, ½ Picard–Lindel¨of ½n). • Peano ò° Picard ½n^á, y²ÎY5=åy)35 (,=kÎY5 Ã{yçò5). Peano (J<°Éè Peano ½n. • 'u~á©êß)3⁄çò5ÑkÈıŸß?ò⁄Ì2⁄U?, á— ë ߣâå, ÿ3d0 . 3çò5½nQ„ e°½ny êß (1.1.4) –äØK)35⁄çò. ½n1. (Picard ½n) f(t, x) 3m´ç Ω ∈ R 2 ˛ÎY, Ö'u x ˜v¤‹ Lipschitz ^ á, =È ∀ (t, x) ∈ Ω, 3 (t, x) ç Ut,x, 9~Í Lt,x, ¶È ∀ (t, x1), (t, x2) ∈ Ut,x — k |f(t, x1) − f(t, x2)| ≤ Lt,x|x1 − x2|. Kêß (1.1.4) L?ò: (t0, x0) ∈ Ω —kçò), Pè x = φ(t), t ∈ (α, β). ⁄⁄Èu: • ?ò⁄)º¤‹Lipschitz^á; • ⁄Æ)gµ½n•¸á^áÎY5 ⁄¤‹Lipschitz^áä^X¤º 8
第二讲、微分方程解的几何解释、存在和唯一性、实际模型的推导 存在唯一性定理的深入：延拓和存在区间 ·上述定理给出了微分方程(1.1.4)初值问题解的存在和唯一性的充分条件.如果将局部 Lipschitz条件换成f，化)关于x在？中有连续偏导数，则定理的结论显然成立 。该定理保证从？中任一点出发有且仅有一条积分曲线通过.进一步地 -如果x=(),t∈(4，)也是方程(1l4)过(o,x0)的解，满足(a,)C(u,),且 当t∈(a,)时()=)，称解x=()是解x=()的延拓. -若对于方程(11,4)过(o,o)的任一解x=(),t∈（山，）都有（山，）C(a,),称 解x=(,t∈(a,)是方程(11.4)过(o,o)的不可延拓的解：此时称(a,)是 方程(1.1.4)过(o,0)的解的最大存在区间或简称存在区间. ·在上节的例1,2,3,4中解的存在区间都是(-，∞.而例5中解的存在区间是半有限 的，例6中解的存在区间是有限的.注意到，这些解都是不可延拓的解。 注：延拓和存在区间是本讲的难点，需引导学生进一步的理解、思考和消化 可以从引导学生思考：解在存在区间端点的极限？ 存在性的进一步结论 引导探究：定理1不仅保证了解的存在性，而且保证了解的唯一性， 问：什么条件就可以保证解的存在性？ 定理2.(Peao定理)如采f化，x)在开区域2cR2上连续，则方程(L.l.4)过任一点 (o:0)∈2的解都存在，且解定义在最大存在区问上 定理1和2的证明将在以后中给出. 存在性和唯一性条件的必要性 上一讲的例4说明仅有连续性不能保证初值问题解的唯一性。 设问：如果化，)不满足连续性假设，初值问题解的存在性能保证吗？ 反例：初值问题 -fz,h0=0,)∈g2,o. (1.1.)
1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì 3çò5½n \µÚˇ⁄3´m • ˛„½nâ— á©êß (1.1.4) –äØK)3⁄çò5ø©^á. XJÚ¤‹ Lipschitz ^áܧ f(t, x) 'u x 3 Ω •kÎY†Í, K½n(ÿw,§·. • T½nyl Ω •?ò:—ukÖ=kò^»©ÇœL. ?ò⁄/, – XJ x = ψ(t), t ∈ (µ, ν) è¥êß (1.1.4) L (t0, x0) ), ˜v (α, β) ⊂ (µ, ν), Ö t ∈ (α, β) û ψ(t) = φ(t), °) x = ψ(t) ¥) x = φ(t) Úˇ. – eÈuêß (1.1.4) L (t0, x0) ?ò) x = ψ(t), t ∈ (µ, ν) —k (µ, ν) ⊂ (α, β), ° ) x = φ(t), t ∈ (α, β) ¥êß (1.1.4) L (t0, x0)ÿåÚˇ); dû° (α, β) ¥ êß (1.1.4) L (t0, x0))Åå3´m½{°3´m. • 3˛!~ 1, 2, 3, 4 •)3´m—¥ (−∞, ∞), ~ 5 •)3´m¥åkÅ , ~ 6 •)3´m¥kÅ. 5ø, ˘ )—¥ÿåÚˇ). 5µÚˇ⁄3´m¥ ˘J:ßI⁄Æ)?ò⁄n)!g⁄ûz" å±l⁄Æ)gµ)33´m‡:4ź 35?ò⁄(ÿ ⁄&ƒµ½n 1 ÿ=y )35, Öy )çò5. Ø: üo^á“å±y)35º ½n2. (Peano ½n) XJ f(t, x) 3m´ç Ω ⊂ R 2 ˛ÎY, Kêß (1.1.4) L?ò: (t0, x0) ∈ Ω )—3, Ö)½¬3Åå3´m˛. ½n 1 ⁄ 2 y²Ú3±•â—. 35⁄çò5^á7á5 ˛ò˘~ 4 `²=kÎY5ÿUy–äØK)çò5. صXJ f(t, x) ÿ˜vÎY5b, –äØK)35Uy̺ á~µ–äØK dy dx = f(x, y), y(0) = 0, (x, y) ∈ (R 2 , 0). (1.1.5) 9
常微分方程教案：第一章常微分方程基础知识 没有解，其中 f红，) 0,(c,)-(0,0) 证：运用反证法，如果初值问题(1.15)有解，记为=(x,xeJ=0,)(在0的左边区 间可以类似地讨论).按照解的定义，()是连续可微的且了非空.由于（回）在J上连续 且(0=f0,0)=0,所以对Ve>0(不妨设≤)，36>0使得当x∈[0，)CJ时有 1(<e<.但'()=fc,()-1,x∈(0，).这个矛盾说明初值问题(1.1.5)没有 解 探索发现：请同学自己构造初值问题有多解，与初值问题的解不存在的例子刊 本段总结：重点是存在唯一性定理的了解和掌握。延拓和存在区间概念的理解。 2.常微分方程的实际运用：模型的推导 教学目的： ·学生学会如何推导实际问题的模型。 ·在实践中培养学生学习常微分方程的兴趣。 在每个例子的推导过程中都要设问、引导，使学生循序渐进地掌握如何去建立实际问 题的数学模型。 1.自由落体运动以地面作为坐标原点，铅直向上的方向为坐标轴工的正方向.某时刻《 在高度为x0的地方将质量为m的物体放下，如不考虑其他外力只在重力作用下物体在： (o)时刻的位置如何？假设重力加速度为g. 考虑重力的方向和x的正方向，并运用牛顿第二定律得m正=一mg,即 (0=-9 这是表述物体自由下落的运动方程。 2。放射性物质哀变设有某放射性物质在t时刻的数量为x),且物质衰变的速度与物质的 数量成正比，则有 ()=-kx(), 10
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ vk), Ÿ• f(x, y) = 1, (x, y) ∈ (R 2 , 0), (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0). yµ$^áy{, XJ–äØK (1.1.5) k), Pè y = φ(x), x ∈ J = [0, β) (3 0 Ü>´ må±aq/?ÿ). UÏ)½¬, φ(x) ¥ÎYåáÖ J öò. du φ 0 (x) 3 J ˛ÎY Ö φ 0 (0) = f(0, 0) = 0, §±È ∀ ε > 0 (ÿî ≤ 1 2 ), ∃ δ > 0 ¶ x ∈ [0, δ) ⊂ J ûk |φ 0 (x)| < ε < 1 2 . φ 0 (x) = f(x, φ(x)) = 1, x ∈ (0, δ). ˘ágÒ`²–äØK (1.1.5) vk ). &¢uyµû”ÆgCE–äØKkı)ßÜ–äØK)ÿ3~fú „o(µ:¥3çò5½n )⁄›º"Úˇ⁄3´mVgn)" 2. ~á©êߢS$^µ .Ì Æ8µ • Æ)ƨX¤Ì¢SØK ." • 3¢Ç•Æ)ÆS~á©êß," 3zá~fÌLß•—áØ!⁄߶Æ)ÃSÏ?/›ºX¤Ô·¢SØ KÍÆ ." 1. gd·N$ƒ ±/°äèãI:, YÜï˛êïèãI¶ x êï. ,ûè t0 3p›è x0 /êÚü˛è m ‘Nòe, XÿƒŸ¶ Âê3Âä^e‘N3 t (> t0) ûè†òX¤? bÂ\Ñ›è g. ƒÂêï⁄ x êï, ø$^⁄Ó1½Æ mx¨ = −mg, = x¨(t) = −g. ˘¥L„‘Ngde·$ƒêß. 2. ò5‘üPC k,ò5‘ü3 t ûèͲè x(t), Ö‘üPCћܑü Ͳ§', Kk x˙(t) = −kx(t), 10