第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子 2。切入正题：常微分方程和解的定义，及其具体的例子 教学目的与目标 ·知识传授： 一让学生了解和掌握常微分方程及其阶的定义，解和通解的定义、区别和联系，各类 方程形式的认识。 一通过具体的例子让学生验证什么是解和通解。 一通过这些具体的例子使得学生对解的唯一性、存在区间有一个初步的了解。 。能力素质：培养学生学习常微分方程的基本思维方式和处理技巧 重点和难点 ·重点是解和通解的定义： ·难点是通解与初值问题的解之间的联系。 具体教学内容： 1
1ò˘!ëßoNÆS¸!~á©êß⁄)½¬Ü~f 2. É\Kµ~á©êß⁄)½¬ß9Ÿ‰N~f Æ8Ü8I • £D«µ – 4Æ) )⁄›º~á©êß9Ÿ ½¬ß)⁄œ)½¬!´O⁄ÈXßàa êß/™@£" – œL‰N~f4Æ)yüo¥)⁄œ)" – œL˘ ‰N~f¶Æ)È)çò5!3´mkòá–⁄ )" • UÂÉüµÆ)ÆS~á©ê߃ gëê™⁄?nE| :⁄J:µ • :¥)⁄œ)½¬¶ • J:¥œ)Ü–äØK)ÉmÈX" ‰NÆSNµ 1
第一章常微分方程的基础知识 $1.1常微分方程的基本概念 微分方程的定义 ·微分方程是指含有未知函数的导数的方程 ·未知函数的自变量是单变量的微分方程称为常微分方程 ·未知函数的自变量是多变量的微分方程称为偏微分方程。 ·微分方程含有的导数的最高阶数称为微分方程的阶 说明：本课程只讲授常微分方程，偏微分方程在后续课程中讲授. 常微分方程的例子 1.方程 碧+心++2=1 是3阶常微分方程 2.方程 +()°=z 是4阶常微分方程， 3.Newton第二运动定律导出的微分方程 mF((). 是2阶常微分方程，其中m是质点的质量，F是t时刻粒子在位置x)受到的作用力， 微分方程的形式 ·n阶常微分方程的一般形式是 F（0.在0.=回）=0， (1.1.1) 其中F是关于其变量的连续或光滑函数，且F必须含有二， 2
1òŸ ~á©ê߃:£ §1.1 ~á©ê߃ Vg á©êß½¬ • á©êߥç¹kôºÍÍêß. • ôºÍgC˛¥¸C˛á©êß°è~á©êß. • ôºÍgC˛¥ıC˛á©êß°è†á©êß. • á©êß¹kÍÅp Í°èá©êß . `²µ ëßê˘«~á©êß, †á©êß3Yëß•˘«. ~á©êß~f 1. êß d 3y dx3 + (y 5 + xy + 1) dy dx = 1, ¥ 3 ~á©êß. 2. êß x 2 d 4x dt4 + dx dt 5 = cos x, ¥ 4 ~á©êß. 3. Newton 1$ƒ½Æ—á©êß m d 2x(t) dt2 = F(x(t), ¥ 2 ~á©êß, Ÿ• m ¥ü:ü˛, F ¥ t ûè‚f3†ò x(t) …ä^Â. á©êß/™ • n ~á©êßòÑ/™¥ F t, x(t), dx dt (t), . . . , d nx dtn (t) = 0, (1.1.1) Ÿ• F ¥'uŸC˛ÎY½1wºÍ, Ö F 7L¹kd nx dtn . 2
第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子 ·因x关于t的n阶导数含在函数F之中，所以称(111)为n阶隐式常微分方程（简 称n阶隐式方程. 注：以后常用主，主，丈(，x"(因和x(因表示未知函数x关于自变量t的各阶导 数.常微分方程中，习惯上常用时间t作为自变量：也常用y作为因变量，x作为自变 量等 ·n阶显示常微分方程的一般形式是 x④=f(么x),,,xa-(回 1.1.2) 其中是关于其变量的连续或光滑函数.易见，显示常微分方程可以写成隐式常微分 方程的形式. 常微分方程解、通解的定义 设函数F定义在"+2维空间的某开区域卫上.定义在（化1,2）上的函数x=()称 为微分方程(11.1)的解，如果o()在（化1，t2)上具有n阶连续导数，且 (6(),0,o()）e, F(o0,o0,,oom间）=0，tea,. 称(，t)为解的定义区间.注：有可能n--0或n=0. 设ACRm是一开区域，c=(q,…,cn).含有n个常数的函数x=t,c,任，c)∈ (,)×A称为方程(111)的通解，如果p是方程(11)的解，且n个常数是任意的或独 立的，即，，，-)关于，c2,,cn的Jacobi行列式 聪 D(,,oa-1 聪 D(1,2,,cn) ≠0，(t.c)∈(t1,t2)x1 常微分方程初值问题 n阶微分方程(1.1.1)或(1.1.2)满足初始条件 z(to)=ro,'(to)=x1,....(n-1)=in-1, (1.1.3) 3
1ò˘!ëßoNÆS¸!~á©êß⁄)½¬Ü~f • œ x 'u t n ͹3ºÍ F É•, §±° (1.1.1) è n ¤™~á©êß ({ ° n ¤™êß). 5µ±~^ x˙, ¨x, x 0 (t), x 00(t) ⁄ x (n) (t) L´ôºÍ x 'ugC˛ t à Í. ~á©êß•, S.˛~^ûm t äègC˛; è~^ y äèœC˛, x äègC ˛ . • n w´~á©êßòÑ/™¥ x (n) (t) = f t, x(t), x0 (t), . . . , x(n−1)(t) , (1.1.2) Ÿ• f ¥'uŸC˛ÎY½1wºÍ. ¥Ñ, w´~á©êß屧¤™~á© êß/™. ~á©êß)!œ)½¬ ºÍ F ½¬3 R n+2 ëòm,m´ç Ω ˛. ½¬3 (t1, t2) ˛ºÍ x = φ(t) ° èá©êß (1.1.1) ), XJ φ(t) 3 (t1, t2) ˛‰k n ÎYÍ, Ö t, φ(t), φ0 (t), . . . , φ(n) (t) ∈ Ω, F t, φ(t), φ0 (t), . . . , φ(n) (t) ≡ 0, t ∈ (t1, t2). ° (t1, t2) è)½¬´m. 5µkåU r1 = −∞ ½ r2 = ∞. Λ ⊂ R n ¥òm´ç, c = (c1, . . . , cn). ¹k n á~ÍºÍ x = φ(t, c), (t, c) ∈ (t1, t2) × Λ °èêß (1.1.1) œ), XJ φ ¥êß (1.1.1) ), Ö n á~Í¥?ø½’ ·, = φ, φ0 , . . . , φ(n−1) 'u c1, c2, . . . , cn Jacobi 1™ D(φ, φ0 , . . . , φ(n−1)) D(c1, c2, . . . , cn) := ∂φ ∂c1 ∂φ ∂c2 · · · ∂φ ∂cn ∂φ0 ∂c1 ∂φ0 ∂c2 · · · ∂φ0 ∂cn . . . . . . . . . . . . ∂φ(n−1) ∂c1 ∂φ(n−1) ∂c2 · · · ∂φ(n−1) ∂cn 6= 0, (t, c) ∈ (t1, t2) × Λ. ~á©êß–äØK n á©êß (1.1.1) ½ (1.1.2) ˜v–©^á x(t0) = x0, x0 (t0) = x1, . . . , x(n−1) = xn−1, (1.1.3) 3
常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 称为初值问题，其中和∈露称为初始时间，（红01，工n-1)∈R”称为初始值或简称初值 教学设问：为什么n阶微分方程初值问题中的初始条件是由n个条件确定的？ 1可以请学生思考后讨论、回答。2总结学生分析，给出正确的答案 教学启发和引导：通解和初值问题是本讲的难点和重点。需要启发学生 ·如何理解通解和解的联系与区别？ ·如何从通解获得初值问题的解？ 注：上述的设问和启发引导是本讲的教学高潮之一。需充分利用！ 微分方程和解的例子 教学目的：通过例子引导学生如何认识解和通解，学会验证解和通解 1.二阶微分方程 2”=9,9eR 在teR上有通解x=t,C1,c2)=g2+t+2,其中1和c2是任意常数 2.三阶微分方程 x"()+x"(t)-x'(t)+15x(t)=0. 在teR上有通解x=,c1,c2,c)=ce-+c2ecos(2t)+caesin(2t),其中c1,2,g 是任意常数. 3.设a(r,b(x)在(a,B)CR上连续，0∈(a,),%∈R.则一阶微分方程初值问题 a()v+e).(ra)=w: 在x∈(a,)上有解 回=品ao(o+0e后o恤） 4.初值问题 是=四=0 4
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ °è–äØK, Ÿ• t0 ∈ R °è–©ûm, (x0, x1, . . . , xn−1) ∈ R n °è–©ä½{°–ä. Æصèüo n á©êß–äØK•–©^á¥d n á^á(½º 1 å±ûÆ)g?ÿ!£â"2 o(Æ)©¤ßâ—(âY ÆÈu⁄⁄µœ)⁄–äØK¥ ˘J:⁄:"IáÈuÆ) • X¤n)œ)⁄)ÈXÜ´Oº • X¤lœ)º–äØK)º 5µ˛„Ø⁄Èu⁄¥ ˘ÆpåÉò"Iø©|^ú á©êß⁄)~f Æ8µœL~f⁄Æ)X¤@£)⁄œ)ßƨy)⁄œ) 1. á©êß x 00(t) = g, g ∈ R, 3 t ∈ R ˛kœ) x = φ(t, c1, c2) = 1 2 gt2 + c1t + c2, Ÿ• c1 ⁄ c2 ¥?ø~Í. 2. n á©êß x 000(t) + x 00(t) − x 0 (t) + 15x(t) = 0, 3 t ∈ R ˛kœ) x = φ(t, c1, c2, c3) = c1e −3t + c2e t cos(2t) + c3e t sin(2t), Ÿ• c1, c2, c3 ¥?ø~Í. 3. a(x), b(x) 3 (α, β) ⊂ R ˛ÎY, x0 ∈ (α, β), y0 ∈ R. Kò á©êß–äØK dy dx = a(x)y + b(x), y(x0) = y0, 3 x ∈ (α, β) ˛k) y(x) = e R x x0 a(s)ds y0 + Z x x0 b(t)e − R t x0 a(s)dsdt . 4. –äØK dy dx = y 1 3 , y(1) = 0, 4
第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子 在x∈R上有无穷多个解 0. T≤C ±()e-61,x>6 其中c≥1是任意常数。 5.微分方程 = -满足初始条件1)=1在(-，2)上有解y=(2-x)-: -满足初始条件)=-1在(0，∞)上有解y=-工 6.初值问题 2=1+只，0)=0 在(-号，)上有解g=tanx 教学启发与引导： ·例4中方程右端函数在（亿，）平面连续，但在y=0不可微，初值问题有无穷多个解。 设问：产生初值问题多解的原因何在？ 这为下节微分方程初值向题解的存在与唯一性问题的提出埋下伏笔 ·例5和6中微分方程右端函数在（仁，）平面上连续可微，但解的定义区间有很大的区 别. 设问：为什么解的定义区间有如此大的区别？ 这让学生对下节微分方程解的延拓和存在区间的概念有个初步的认识.因为这些 概念是每届学生学习的难点。 作业：习题一1,2 5
1ò˘!ëßoNÆS¸!~á©êß⁄)½¬Ü~f 3 x ∈ R ˛kðıá) y(x) = 0, x ≤ c, ± 2 3 3 2 (x − c) 3 2 , x > c, Ÿ• c ≥ 1 ¥?ø~Í. 5. á©êß dy dx = y 2 , – ˜v–©^á y(1) = 1 3 (−∞, 2) ˛k) y = (2 − x) −1 ; – ˜v–©^á y(1) = −1 3 (0, ∞) ˛k) y = −x −1 . 6. –äØK dy dx = 1 + y 2 , y(0) = 0, 3 (− π 2 , π 2 ) ˛k) y = tan x. ÆÈuÜ⁄: • ~ 4 •êßm‡ºÍ3 (x, y) ²°ÎY, 3 y = 0 ÿåá, –äØKkðıá). ص)–äØKı)œ¤3º ˘èe!á©êß–äØK)3Üçò5ØKJ—Óeœ). • ~ 5 ⁄ 6 •á©êßm‡ºÍ3 (x, y) ²°˛ÎYåá, )½¬´mkÈå´ O. صèüo)½¬´mkXdå´Oº ˘4Æ)Èe!á©êß)Úˇ⁄3´mVgká–⁄@£. œè˘ Vg¥z3Æ)ÆSJ:" äíµSKò 1, 2" 5