《线性代数》课程教学资源（试卷试题）第三章 线性方程组的解和维向量（典型例题详解）

32x, ==X+55其中x，x为自由未知量.11X ==x +x-5'5x-x=a,2-,=02有解的充分必要条件是4,=0.例3.10证明非齐次线性方程组X-x=ag,i=1x4-x,=a4,（必要性）将此4 个方程加起米可符含4 -0.证明i=l（充分性）非齐次线性方程组的增广矩阵0110a1-10oa001az010-1a(A /b)=00as00-111.03-10000Oia.1il当α,=0时，r(A)=r(4b)=3<4，故非齐次线性方程组有解i=l例3.11设方程组1123)7x33611X33-1-k15x3(1(1-5-1012八x）问k,1各取何值时，方程组（1）无解；一解；（3）有无穷多解，并求出其一般解（2）由唯一解将增广矩阵化为行阶梯形11231)23(1 1113360242211B=(A :b)X3-1-k1500-k+2230(1-5-10121)0031+5(1）由于方程组无解的充要条件是r(B)≠r(A)，可得当2-k±0时，也即k≠2时，无论1取何值，均有r(B)=r(A)：当k=2时，将增广矩阵继续进行行变换可得

1 3 2 3 4 3 2 , 5 5 1 1 , 5 5 x x x x x           其中 3 x ， 4 x 为自由未知量. 例 3.10 证明非齐次线性方程组 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 , , , ,                x x a x x a x x a x x a 有解的充分必要条件是 4 1 0 i i a    . 证明 （必要性）将此 4 个方程加起来可得 4 1 0 i i a    . （充分性）非齐次线性方程组的增广矩阵   1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 i i a a a a A b a a a a                                       当 4 1 0 i i a    时， r A r A b ( ) 3 4      ，故非齐次线性方程组有解. 例 3.11 设方程组 1 2 3 4 1 1 2 3 1 1 3 6 1 3 3 1 15 3 1 5 10 12 x x k x x l                                          ， 问 kl, 各取何值时，方程组（1）无解；（2）由唯一解；（3）有无穷多解，并求出其一般解. 解 将增广矩阵化为行阶梯形   1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 3 6 1 3 0 2 4 2 2 3 1 15 3 0 0 2 2 4 1 5 10 12 0 0 0 3 5 B A b k k l l                                   （1）由于方程组无解的充要条件是 r B r A ( ) ( )  ，可得 当 2 0   k 时，也即 k  2 时，无论 l 取何值，均有 r B r A ( ) ( )  ； 当 k  2 时，将增广矩阵继续进行行变换可得

3111242202B20010(0001+5)因此1+5≠0，即1±-5.所以当k=2，且1±-5时，方程组无解：（2）由（1）可知(i）当k=2，且1=-5时，方程组有解，且有r(B)=r(A)=3<4，故此时方程组有无穷多解；（i）当k≠2时，无论/取何值均有方程组有解易见，当k±2时，无论/取何值，均有r(B)=r(A)=4，此时方程组有唯一解所以当k≠2时，无论/取何值，方程组有唯一解：（3）由以上结论可知当k=2，且1=-5时，方程组有解且有无穷多解，继续将增广矩阵化为行最简形可得11231(1000-820024-21203B00001200120000(000000可得一般解为x, = -8,x,=3-2x3，其中x为自由未知量[x4 = 2,x+x+x=0,例3.12设线性方程组x+2x,+ax=0，与方程x+2xz+x=a-1有公共解，求x+4x+ax,=0,α的值以及所有公共解。x+x +x =0,x +2x+ax,=0,解由题设可知线性方程组有解，将增广矩阵化为行阶梯形可得X+4x +ax,=0,[x+2x2 +x =a-1

1 1 2 3 1 0 2 4 2 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 5 B l               因此 l  5 0 ，即 l 5. 所以当 k  2 ，且 l 5 时，方程组无解； （2）由（1）可知 （i）当 k  2 ，且 l 5 时，方程组有解，且有 r B r A ( ) ( ) 3 4    ，故此时方程组 有无穷多解； （ii）当 k  2 时，无论 l 取何值均有方程组有解. 易见，当 k  2 时，无论 l 取何值，均有 r B r A ( ) ( ) 4   ，此时方程组有唯一解 所以当 k  2 时，无论 l 取何值，方程组有唯一解； （3）由以上结论可知当 k  2 ，且 l 5 时，方程组有解且有无穷多解，继续将增广 矩阵化为行最简形可得 1 1 2 3 1 1 0 0 0 8 0 2 4 2 2 0 1 2 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B                           可得一般解为 1 2 3 4 8, 3 2 , 2, x x x x           其中 3 x 为自由未知量. 例 3.12 设线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 0, 2 0, 4 0,               x x x x x ax x x a x 与方程 1 2 3 x x x a     2 1 有公共解，求 a 的值以及所有公共解. 解 由题设可知线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 0, 2 0, 4 0, 2 1,                     x x x x x ax x x a x x x x a 有解，将增广矩阵化为行阶梯形可得

10(11101101100100102a-10a-1B=(A : b)03a2-104a20000(a-1)(a-2)2(o10100a-1a-11-a1a-1当a-2±0，即a±2时，可将增广矩阵B继续施以初等行变换可得210(11001a-1B000(a-1)(a-2)(0 00a-1)由于非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，所以有a-1=0，也即a=1.将α=1代入原方程组，可将增广矩阵化为行最简形(1011011010100000001211B=(A b)=0000041030012１000000100可得[=-x，其中x,为自由未知量。[x, =0当然α-2=0，也即α=2时，可将增广矩阵B化为行最简形可得1110100011一01010011010B000000100-000000-10000[x =0,可得x=1,x, =-1.x+x+x+x=0,Jx2 +2x, +2x4 = 1,例3.13设线性方程组问a,b为何值时，方程组-x +(a-3)x, -2x =b,3x +2x, +x, +ax, =-1,（1）有唯一解：（2）无解：（3）有无穷多解，并求出解解先将增广矩阵化为行阶梯形

  2 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 4 0 0 3 1 0 0 0 ( 1)( 2) 0 1 2 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1                                                a a a B A b a a a a a a a a 当 a  2 0 ，即 a  2 时，可将增广矩阵 B 继续施以初等行变换可得 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 ( 1)( 2) 0 0 0 0 1                 a B a a a 由于非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等， 所以有 a  1 0 ，也即 a 1. 将 a 1 代入原方程组，可将增广矩阵化为行最简形   1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 4 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 B A b                                       可得 1 3 2 0 x x x       ，其中 3 x 为自由未知量. 当然 a  2 0 ，也即 a  2 时，可将增广矩阵 B 化为行最简形可得 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0                                        B 可得 1 2 3 0, 1, 1.          x x x 例 3.13 设线性方程组 1 2 3 4 234 2 3 4 1 2 3 4 0, 2 2 1, ( 3) 2 , 3 2 1,                         x x x x x x x x a x x b x x x ax 问 ab, 为何值时，方程组 （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求出解. 解 先将增广矩阵化为行阶梯形

0(1111011111012210122B=(A : b)0b00b+1-20a-1a-33020001a-1a-1易得（1）当a-1±0，也即a±1时，无论b取何值时，均有r(B)=r(A)=4，此时方程组必有唯一解；（2）当a-1=0且b+1±0时，也即a=1且b±1时，有r(B)=3，而r(A)=2，此时方程组无解：（3）当a-1=0且b+1=0时，也即a=1且b=1时，有r(B)=r(A)=2<4，此时方程组有无穷多解.将α=1和b=-1代入原方程组中，将其增广矩阵化为行最简形可得11(1100-1-1-10221022111B :000000a-1b+10000(o00000a-10可得[=-1+x,+x4其中x,x,为自由未知量.[x,=1-2x,-2x4,0)120，求β.例3.14设2(α-β)-3(α+β)=αz，其中α=α211(2)1)解由题意知2α-2β-3α-3β=αz，整理可得5β=2α,-4αz，即215018202442425B:αα51515-1552-52010

  1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 0 0 1 0 1 3 2 1 1 0 0 0 1 0 B A b a b a b a a                                  易得 （1）当 a  1 0 ，也即 a 1 时，无论 b 取何值时， 均有 r B r A ( ) ( ) 4   ，此时方程组必有唯一解； （2）当 a  1 0 且 b  1 0 时，也即 a 1 且 b 1 时， 有 r B( ) 3  ，而 r A( ) 2  ，此时方程组无解； （3）当 a  1 0 且 b  1 0 时，也即 a 1 且 b 1 时， 有 r B r A ( ) ( ) 2 4    ，此时方程组有无穷多解. 将 a 1 和 b 1 代入原方程组中，将其增广矩阵化为行最简形可得 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 B a b a                              可得 1 3 4 2 3 4 1 , 1 2 2 ,           x x x x x x 其中 3 4 x x, 为自由未知量. 例 3.14 设 1 2 2 2( ) 3( )          ，其中 1 1 0 1 2               ， 2 0 2 1 1               ，求  . 解 由题意知 1 2 2 2 2 3 3          , 整理可得 1 2 5 2 4      ，即 1 2 2 5 1 0 1 8 2 4 2 4 2 0 2 4 5 5 5 5 5 5 1 1 1 2 2 1 0 5 0                                                                     

k例3.15设β-β=β-β，其中β求k，m值m-2 2k亦即解由题意知2β=β+β，即1故2k=6，2m=1，进而可得k=3，m21)(2)1120例3.16设α=，间β能否由α,αzα,线性表示，若bα1)(2)（3)-1能写出表示式解设xα+xα+xα,=β，则121B=(α,α2,α, β)=(A iβ)=2031230由于r(α,α,α)=2=r(B)=r(α,α,α,β)，则β能由α,α,α,线性表示，且x, =-3x, +1,其中x为自由未知量[x2=2x +1,令x=0可得非齐次线性方程组的一个解[x, =1,x2 =1,x,=0,故β=+α+0α=+

例 3.15 设        1 2 ，其中 1 2 1 1              ， 2 4 0 3              ， 2 k  m             ，求 k ，m 值. 解 由题意知 1 2 2     ，即 2 4 2 1 0 2 1 3 k m                                    ，亦即 2 6 2 1 4 4 k m                        ， 故 2 6 k  ， 2 1 m  ，进而可得 k  3， 1 2 m  . 例 3.16 设 1 2 3 1 1 1 2 2 , 3 , 0 , 5 , 1 2 1 3                                                  问  能否由 1 2 3    , , 线性表示，若 能写出表示式. 解 设 1 1 2 2 3 3 x x x        ，则  1 2 3    1 1 1 2 , , , 2 3 0 5 1 2 1 3 B A                    1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 3 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0                                 由于 1 2 3 1 2 3 r r B r ( , , ) 2 ( ) ( , , , )           ，则  能由 1 2 3    , , 线性表示， 且 1 3 2 3 3 1, 2 1,         x x x x 其中 3 x 为自由未知量 令 3 x  0 可得非齐次线性方程组的一个解 1 2 3 1, 1, 0,         x x x 故 1 2 3 1 2            0