544牛顿插值( Newton's Interpolation) Lagrange插值虽然易算,但若要增加· 个节点时,全部基函数l(x)都需要重新 计算。 能否重新在Pn中寻找新的基函数? 希望每加一个节点时,只附加一项上去即可
§4.4 牛顿插值 （Newton’s Interpolation ） Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一 个节点时，全部基函数l i (x) 都需要重新 计算。 能否重新在Pn中寻找新的基函数 ？ 希望每加一个节点时，只附加一项上去即可
本讲主要内容 Newton插值多项式的构造 差商的定义及性质 差分的定义及性质 ●等距节点 Newton插值公式
本讲主要内容: ● Newton插值多项式的构造 ● 差商的定义及性质 ● 差分的定义及性质 ● 等距节点Newton插值公式
基函数 {1,x-xmp(x-x(x-x)…,(x-x)(x1)…(xxm) 是否构成Pn的一组基函数? N(x)=A4+A(x-x)+Ax-x)(x-x)+…+A,(x-x0).(x-x 利用插值条件Nx)=xy,=0,1,…,m代入上式 得关于A(k=0,1,…,m的线性代数方程组
｛1,x - x0 ,(x - x0 )(x - x1 )，…，(x-x0 )(x-x1 )… (x-xn-1 )｝ 是否构成Pn的一组基函数？ 0 1 0 2 0 1 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ... ( )...( ) N x A A x x A x x x x A x x x x n n n− = + − + − − + + − − 利用插值条件Nn (xj )=f(xj ), j=0,1，…，n代入上式， 得关于Ak (k=0,1，…，n)的线性代数方程组 基函数
0 0 4)(f(x) 1x,-x 0 XI ∏I(x-x) f(n) i=0 当x;互异时,系数矩阵非奇异,且容易求解
0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 ( ) 1 0 ( ) 1 ( ) ( ) n n i n n i A f x x x A f x x x x x A f x − = − = − − 当xj 互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解
A6=f(x0) 了(x1)-f(x) f(x2)-f(x)f(x)-f(x)/x2-x) 0 It is not a difficult thing for a mathematician We can use notation How complex the expression are
1 0 1 1 0 f x f x ( ) ( ) A x x − = − 2 1 1 0 2 2 0 2 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /( ) f x f x f x f x A x x x x x x − − = − − − − How complex the expression are! It is not a difficult thing for a mathematician. We can use notation 0 0 A f x = ( )