5.4内积空间中的最佳平方逼近 内积空间 ·设X为(实)线性空间,在X上定义了内积是指对 X中每一对元素Xy都有一实数,记为(Xy)与之 对应,且这个对应满足: (1)()≥0,当仅当X=0,)=0 (2)(x,y)=(2x),x,y∈X (3)(x,y)=A(x,y),x,y∈X;x∈R, (4(x+ z)=(x,2)+(z),X,DzEX 则称X为内积空间
5.4 内积空间中的最佳平方逼近 • 设X为(实)线性空间，在X上定义了内积是指对 X中每一对元素x,y,都有一实数，记为(x,y)与之 对应，且这个对应满足: • （1）(x,x)≥0，当且仅当x=0时， (x,x)=0; • （2)（x, y）=（y, x），x, y∈X; • （3）（x, y）= ( x, y），x, y∈X； ∈R; • （4）（x+y, z）=（x, z）+（y, z），x, y, z∈X • 则称X为内积空间。 一、内积空间
两种重要的内积空间 >n维欧氏空间R,内积就是两向量的数量积 (x,y)=xy=∑Xyr >连续函数空间c[ab],内积可以定义为积分 的运算 或带权函数的积分运算,即 (f(x),g(x)=∫f(x)g(x)dx,f(x)g(x)∈C B(f(x),g x)=p(x)g(x) f(x)dx f(x)g(x)∈c[ab]其中p(x)称为权函数
两种重要的内积空间 ➢n维欧氏空间Rn，内积就是两向量的数量积， 即 • (x，y)=xＴy=∑xi yi . ➢连续函数空间C［a,b］，内积可以定义为积分 的运算 • 或带权函数的积分运算，即 • (f(x),g(x))=∫f(x)g(x) dx, f(x),g(x)∈C ［a,b］ • 或(f(x),g(x))=∫(x)g(x)f(x)dx, f(x),g(x)∈C［a,b］.其中(x) 称为权函数
它满足 ①在[a,b]的任何子区间上积分为正 ·②p(x)≥0,且使p(x)=0的点至多有限 个 ③对f()=1xx2,…,积分∫f(x)p(x) dx存在
它满足： • ①在［a,b］的任何子区间上积分为正； • ② (x) ≥0，且使(x) =0的点至多有限 • ③对f(x)=1,x,x２，…，积分∫f(x)(x) dx存在
几个概念 (1)模(范数):|!<l (x,x) (2)线性赋范空间中两元素xy之间的距离为 dis(x, y)=x-yl2=V-y,x-y) 这种距离也称为2-范数意义下的距离 (3)正交:若(X,y)=0,则称×与y正交
几个概念 (2)线性赋范空间中两元素x,y之间的距离为 （1）模（范数）: 2 ||x|| = (x,x) (3) 正交： 若（x, y）＝0，则称x与y正交 这种距离也称为2-范数意义下的距离 2 dis x y x y x y x y ( , ) ( , ) = − = − −
因此R中两点x与y之间的距离即为 dis(x,)=lx -/l x-y,x-y)=2x-y 连续函数空间C[ab]中f(刈)与g(x)的距离即为 dis(f(x), g(x)=f(x)-g x) =(∫f(x)-g(x)2dx)1/2
连续函数空间C［a,b］中f(x)与g(x)的距离即为 dis (f(x), g(x))=‖f(x)- g(x)‖２ = (∫(f(x)-g(x))２dx )1/2 ➢ ➢ 因此Rn中两点x与y之间的距离即为 2 2 ( , ) ( , ) ( ) i i dis x y x y x y x y x y = − = − − = −