武汉大学数学与统计学院：《数值分析》第9章 矩阵特征值问题的数值方法（9.5）乘幂法和QR算法

95乘幂法 乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征 值及相应特征向量的算法

9.5 乘幂法 乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征 值及相应特征向量的算法

9.5.1求按模最大特征值和特征向量的乘幂法 设A是n阶矩阵,其n个特征值按模从大到 小排序为 2|>2242…≥21 又假设关于A1,A2,…,An的特征向量 1,V2,…,vn线性无关

9.5.1 求按模最大特征值和特征向量的乘幂法 • 设A是n阶矩阵，其n个特征值按模从大到 小排序为     1 2 3     n 又假设关于λ1，λ2，…，λn的特征向量 v1，v2，…，vn线性无关

任意取定初始向量x x=a11+a212+…+anvn(1≠0) 建立迭代公式: Ax Av,+ +…+a.A 11+a2V2+…+annn x 2=Ax=Axo=a,v+a2n2v2 +e+a, nv

任意取定初始向量x0 0 1 1 2 2 1 ( 0) n n x a v a v a v a = + + +  1 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 n n n n n x Ax a Av a Av a Av a v a v a v    = = + + + = + + + 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 2 2 2 n n n x Ax A x a v a v a v = = = + + +    ………….. 建立迭代公式： k k 1 x Ax = −

Ax 2v1+a2v2+…+an2b x{av+a2()v2+…+()vn 因为 <1(=2,3. 故当k→时,X→Aa1y1 因此,ⅹ可看成是关于特征值λ1的近似特征向量 有一严重缺点,当入11(或Ax1k1时){Vk中不 为零的分量将随K的增大而无限增大,计算机就可 能出现上溢(或随K的增大而很快出现下溢)

因为 1( 2,3, , ) 1 i n i  =    故当k→∞时， xk→λ1 ka1v1 . 因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量 有一严重缺点，当|1 |>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不 为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可 能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢） 1 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 [ ( ) ( ) ] k k k k k k n n n k k k n n x Ax A x a v a v a v a v a v v         = = = + + + − = + + +

因此,在实际计算时,须按规范法计算 每步先对向量x进行“规范化”。迭代 格式改为 k k Az1,k=0,1

因此，在实际计算时，须按规范法计算， 每步先对向量xk进行“规范化”。迭代 格式改为 1 , 0,1, k k k k k x z x x Az k  + = = =