第八章常微分方程的数值方法 Numerical Methods for Ordinary Differential Equations 常微分方程分为 (1)初值问题(81节) (2)边值问题(82节)
第八章 常微分方程的数值方法 （Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ） 常微分方程分为 （1）初值问题（8.1节) （2）边值问题（8.2节)
81初值问题的数值方法 ˉ阶常微分方程初值问题的一般形式是: ∫y=f(x ,少),a<x<b D={(x,y)a≤x≤b,csy≤d}
一阶常微分方程初值问题的一般形式是: 0 ( , ), (1) ( ) {( , ) , } y f x y a x b y a y D x y a x b c y d = = = 8.1 初值问题的数值方法
称fxy)在区域D上对满足 Lipschitz条件是指 彐L>0s.t f(x,yi)-f(x,y2)<Lv-y2l Vx∈[a,b],y1,y2∈[c,d]
称f(x,y)在区域D上对y满足 Lipschitz条件是指: 1 2 1 2 1 2 0 . . ( , ) ( , ) , [ , ], , [ , ] L s t f x y f x y L y y x a b y y c d − −
利用 Picaro逼近容易证明 Th811若f(xy)在区域D上连续, 且对y满足 Lipschitz条件则初值 可题(1)在[a,b]上存在唯一的连 续可微解y
利用Picard逼近容易证明: Th8.1.1 若f(x,y)在区域D上连续, 且对y满足Lipschitz条件,则初值 问题(1)在[a,b]上存在唯一的连 续可微解y
利用 Gronwall等式易证解连续依赖于 初值条件: Th812设f(x,y)在D上连续,且对y满足 Lipschitz 条件,若y(x;s)是初值问题 ∫y=f(x,y),ax<b y(a=s 的解,则有 y(xs)-y(x;2)≤ex°-S2
利用Gronwall不等式易证解连续依赖于 初值条件: ( ) 1 2 1 2 Th8.1.2 ( , ) ( ; ) ( ; ) . L x a f x y D y x s y x s e s s − − − 设 在 上连续,且对y满足Lipschitz 条件,若y(x;s)是初值问题 y =f(x,y),a<x<b y(a)=s 的解,则有