第二章求解线性方程组的数值解法 (Numerical Solution of linear equations)
第二章 求解线性方程组的数值解法 (Numerical Solution of Linear Equations)
x,+a1xn+∴.a,x.=b nn 1X1十a2x+… Ixt anax x= b nn n 矩阵表示记为AX=b 这里A=(an)n,我们假设A|≠0, ⅹ=(x1, xn), b=(b bn)
11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b , 0, X , . 1 1 ij n n T AX b A T n n a (x , , x ) b (b , ,b ) 矩阵表示记为 这里 我们假设 A
解线性方程组的两类方法 直接法:经过有限步运算后可求得方程组精确解的方 法(不计舍入误差!)(2.1节) 迭代法:从解的某个近似值出发,通过构造一个无穷 序列去逼近精确解的方法。分为两类: 逐次逼近法(一般有限步内得不到精确解)(2.2节) 共轭斜量法(不考虑计算过程的舍入误差,只用有 限步就收敛于方程组的精确解)(2.3节)
直接法: 经过有限步运算后可求得方程组精确解的方 法(不计舍入误差!)（2.1节） 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷 序列去逼近精确解的方法。分为两类： 逐次逼近法(一般有限步内得不到精确解) （2.2节） 共轭斜量法（不考虑计算过程的舍入误差，只用有 限步就收敛于方程组的精确解）（2.3节） 解线性方程组的两类方法
§21解线性方程组的直接法 Direct Method for Solving Linear Systems) §2.11求解Ax=b的高斯消去法和选主元高斯消去法 >高斯消去法( Gaussian Elimination) 思首先将A化为上三角阵( upper-triangular 路 matrix),此过程称为消去过程,再求解如 下形状的方程组,此过程称为回代求解 backward substitution
§2.1 解线性方程组的直接法 ( Direct Method for Solving Linear Systems) Ø高斯消去法 (Gaussian Elimination) 思 路 首先将A化为上三角阵 ( upper-triangular matrix )，此过程称为消去过程，再求解如 下形状的方程组，此过程称为回代求解 ( backward substitution )。 = §2.1.1求解 A x b的高斯消去法和选主元高斯消去法
消去过程: 记A(=A=( b(1)…b(1))7 第一步:设a0≠0,计算因子l=一1 将增广矩阵的第i行+l×第1行,得到: 其中 l”+la),j=23…1n 162=60+1 6
将增广矩阵的第 i 行 + li1 第1行，得到： 记 ( ) , (1 ) (1 ) A A aij n n ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 T b b b b n 消去过程： 第一步：设 0 ，计算因子 (1) a11 (1) 11 (1) 1 1 a a l i i (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 12 (1 ) 11 a a ... a b n (2) A (2) b 其中 (1) 1 1 (2) (1) (1) 1 1 (2) (1) , , 2,3, , b b l b a a l a i j n i i i ij ij i j