81.3单步法的收敛性和稳定性 (Convergency and Stability) 单步法的收敛性 在讨论收敛性之前,先介绍局部截断误差、整体 截断误差的定义及其他们之间的关系 求解初值问题jy=f(x,y)2a<x<b 的一般显式单步法可以写成如下形式 y+1=y+(x,y,h) 35
在讨论收敛性之前，先介绍局部截断误差、整体 截断误差的定义及其他们之间的关系 8.1.3 单步法的收敛性和稳定性 (Convergency and Stability) 一、单步法的收敛性 求解初值问题 0 ( , ), ( ) y f x y a x b y a y = = 的一般显式单步法可以写成如下形式：
1、局部截断误差 定义在假设y=y(x),即第i步计算是精确的前提下, 考虑的截断误差R1=y(x)-y称为局部截断误差/ local truncation error * 对于数值方法 Vil=Vi+ ho(i,vi, h) 局部截断误差定义为: ei1=y(x+)-[y(x)+h(x1,y(x),h) 假定“y1=y(x)称为局部化假定
1、局部截断误差 1 1 ( , , ), ( ) [ ( ) ( , ( ), )] i i i i i i i i y y h x y h y x y x h x y x h + + = + i+1 = − + 对于数值方法 局部截断误差定义为: e 定义 在假设 yi = y(xi )，即第 i 步计算是精确的前提下， 考虑的截断误差 Ri = y(xi+1 ) − yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 假定“yi = y(xi )”称为局部化假定
2、整体截断误差 对于数值方法 Viy;+hp(ai, yi, h) 其整体截断误差定义为 E1=y(x)-yn1=y(x1)-[y+h0(x,y2,h)
2、整体截断误差 1 1 1 1 1 ( , , ) ( ) ( ) [ ( , , )]. i i i i i i i i i i i y y h x y h E y x y y x y h x y h + + + + + + = − = − + 对于数值方法 = 其整体截断误差定义为
3、局部截断误差与整体截断诶误差的关系 定理814若单步法(35)的局部截断误差en1=O(hPn1 (即ln|sMm2),且丑L>0使得 o(x,y,b)-叭(x,,)≤Dy-元,yF∈R 则(35)的整体截断误差满足 E,<(b-aE+ Mhp L
1 1 1 1 ( ) ( ) 1 0 8.1.4. ( ) 0 ( , , ) ( , , ) , , . [ 1]. p i p i p L b a L b a i e O h e Mh L x y h x y h L y y y y R Mh E e E e L + + + + − − + = − − + − 若单步法(35)的局部截断误差 截断误差满足 定理 (即 ),且 使得 则(35)的整体 3、局部截断误差与整体截断误差的关系
+1) (x)+ho(, y(x,,h)+e i+1, 与(35)相减得到 E1+1=y(x 4+1人 i+1 y(x1)-y1+hy(x12y(x)h)-(x12y2,h)]+e1 E|≤(1+hD)|E|+Mmh 再利用引理1就可得到 Mha+1 E+1≤e (+1)Lh E0+|+ (+1)Lh hL Mh° ≤ehEo+"[ LNh <e4(b-) 0+ Mh LL(
1 1, 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ( ), ) ( ) ( ) [ ( , ( ), ) ( , , )] . (1 ) i i i i i i i i i i i i i i i p i i y x y x h x y x h e E y x y y x y h x y x h x y h e E hL E Mh + + + + + + + + = + + = − = − + − + + + 证: 与(35)相减得到 再利用引理1就可得到