22解线性方程组的送代法 Iterative Methods for Solving Linear Systems */ 将Ax=b改写为等价形式x=Bx+g 、峥建立迭代x1=Bx+8。从初值x出发, 得到序列{xk}。 研究内容: a如何建立迭代格式? a收敛速度? a向量序列的收敛条件?a误差估计?
2.2 解线性方程组的迭代法 /* Iterative Methods for Solving Linear Systems */ 思 路 将 A x b = 改写为 等价形式 ， 建立迭代 。从初值 出发， 得到序列 。 x B x g = + x B x g k k +1 = + 0 x { } xk 研究 内容： 如何建立迭代格式？ 收敛速度？ 向量序列的收敛条件？ 误差估计？
2.21逐次逼近法〔迭代格式的构造) 把矩阵A分裂为 Q-C,Q≠O Ax=b冷(-C)x=b 冷(-QC)x=Qb 冷x=Bx+g
2.2.1 逐次逼近法(迭代格式的构造) 把矩阵A分裂为 则 A Q C Q = − , 0,1 1 ( ) ( ) . Ax b Q C x b I Q C x Q b x Bx g − − = − = − = = +
将上式写为迭代过程 k+1 B x H k (2) 这种迭代过程称为逐次逼近法,‘称为迭代矩阵。 给定初值x,就得到向量序列 0,x1∵, 收敛性定义:若lmx称逐次逼近法收敛 ,否则,称逐次逼近法不收敛或发散
将上式写为迭代过程 这种迭代过程称为逐次逼近法，B称为迭代矩阵。 1 , (2) k k x Bx g + = + * lim , n n x x → 收敛性定义：若 = 称逐次逼近法收敛 ，否则，称逐次逼近法不收敛或发散。 0 x , 0 1 , , , n x x x 给定初值 就得到向量序列
问题:x是否是方程组Ax=b的解? 定理221任意给定初始向量X,如果由逐次 逼近法产生的向量序列收敛于向量x*,那么, x是方程组X=BX+g的解 证明:ix1=lim(Bx+g)→x=Bx+g
问题： x * 是否是方程组Ax=b的解？ * * 1 lim lim( ) . k k k k x Bx g x Bx g + → → = + = + 定理2.2.1 任意给定初始向量x0，如果由逐次 逼近法产生的向量序列收敛于向量x * ，那么， x *是方程组x=Bx+g的解 证明：
逐次逼近法收敛的条件 补充定理当→时,B→0分p(B)<1 定理222设线性方程组x=BX+g有惟一解,那 么逐次逼近法对任意初始向量Xo收鲛的充分必 要条件是迭代矩阵B的谱半径ρ(B)<1 证明:(x=Bx+g xk+l= Bxk +8 xkil-x=b(xk -x)=.=B(o-x) 因此lim(xk+1-x)=04 lim B=0分p(B)<1. k→>0 k
逐次逼近法收敛的条件 补充定理 当k→ 时，Bk → 0 ( B ) < 1 定理2.2.2 设线性方程组x=Bx+g有惟一解，那 么逐次逼近法对任意初始向量X０收敛的充分必 要条件是迭代矩阵B的谱半径 ( B ) <1 * * 1 * * 1 * 1 0 ( ) ( ). k k k k k x Bx g x Bx g x x B x x B x x + + + = + = + − = − = = − 证明： * 1 1 lim( ) 0 lim 0 ( ) 1. k k k k x x B B + + → → 因此 − = = <