《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明 (3.1) ( ) , 0 0 1 由 满足y x = y 的解存在区间内任取一值x ( , , ), 1 1 0 0 y = x x y 则由解的唯一性知, (3.1) ( , ) ( , ) , 过点 x1 y1 与过点 x0 y0 的解是同一条积分曲线 即此解也可写成: ( , , ), 1 1 y = x x y 且显然有: ( , , ), 0 0 1 1 y = x x y ( , ) , 由于点 x1 y1 是积分曲线上任一点 x y 。 y x x y 点 均成立 因此关系式 对该积分曲线上任意 ( , ) ( , , ) 0 = 0
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题: Q1:解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 的 微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容 包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b] 上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小? 0 0 ( , ) x y Q2:解在某个无限闭区间 上有定义,讨论初值 的微小变化是否仍有解在 上有定义,且解在整个 区间 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性 问题,将在第六章中讨论. 0 0 [ , ) a + ( , ) x y [ , ) a + [ , ) a +
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一 解对初值的连续性 定义 设初值问题 , (3.1) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy ( , , ) [ , ] , 的解y = x x0 y0 在区间 a b 上存在 如果对 0, =(,a,b) 0,使得对于满足 2 2 0 0 2 0 0 (x − x ) +(y − y ) ( , ), 0 0 的一切 x y 1.解对初值的连续依赖性
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 的解y =(x, x0 , y0 )都在区间[a,b]上存在,并且 ( , , ) ( , , ) , [ , ] x x0 y0 − x x0 y0 x a b ( , ). (3.1) ( , , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 ' x y y x x y x y 连续依赖于初值 则称初值问题 的解 = 在点 ' 0 0 , (3.1) ( ) ( , ) = = y x y f x y dx dy 初值问题
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 引理 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨 条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任 意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不 等式 .其中 为所考虑 区间内的某一值。 f x y ( , ) ( , ) dy f x y dx = ( ) x ( ) x 0 x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L x x x x x x e − − − 证明 设(x),(x)在区间[a,b]上均有定义,令 ( ) ( ( ) ( )) , [ , ] 2 V x = x − x x a b ( ) = ' V x 则 = 2((x) − (x)) 2((x) − (x))( ( ) ( )) ' ' x − x ( f (x,(x)) − f (x, (x))