酉矩阵 对A∈C,若其n个列向量是一个标准正交基,那么这样的矩 阵具有怎样的性质? 八的 SWer A"A=1或A=A,其中A= 具有这样性质的矩阵称为酉矩阵( Why call it酉?) 酉=U maybe Uniform: not changing,因为给定A为西矩阵,则Ax,4y)=(xy) 即:保持任两向量的内积不变,向量的长度不变,两点之间的距离 不变。 复內积空间C"称为酉空间?? 酉矩阵的性质: 若4是酉矩阵,则A也是酉矩阵 证1:A是酉矩阵口→AA=1 →→A(A)=I A)=(A 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲6
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-6 酉矩阵 – 对 ，若其n个列向量是一个标准正交基，那么这样的矩 阵具有怎样的性质？ 或 ，其中 具有这样性质的矩阵称为酉矩阵（Why call it 酉？） • 酉 = U，maybe: Uniform: not changing，因为给定A为酉矩阵，则 即：保持任两向量的内积不变，向量的长度不变，两点之间的距离 不变。 • 复内积空间 称为酉空间??? – 酉矩阵的性质： • 若A是酉矩阵，则 也是酉矩阵 证1：A是酉矩阵 n n A C A A I H = H A = A −1 H T A = A Ax, Ay = x, y n C −1 A A A I H = H A = A −1 A A H H ( ) = A A I H H = − ( ) 1 A A I H = − − ( ) 1 1 H (A ) (A ) −1 −1 −1 =
酉矩阵 酉矩阵的性质: 若是酉矩阵,则A也是酉矩阵 A1=H→(A (4 )2=(4)x 4y=(4)→(A)yA1=1 A AA=AAA=IA=A AB=(cn)=anb)=Cab)=(∑。ab)=AB 若A,B是酉矩阵,则AB也是酉矩阵 证明: A-I=AH E>(AB)=BA=B"=BA=(AB) (AB) 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲7
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-7 酉矩阵 – 酉矩阵的性质： • 若A是酉矩阵，则 也是酉矩阵 证2： • 若A, B是酉矩阵，则AB也是酉矩阵 证明： −1 A T H H T T A A A A A A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − = = = = = H A = A −1 A A I H = −1 −1 ( ) −1 −1 −1 −1 −1 −1 A AA = A AA = I A = A AB c a b a b a b AB n k i k kj n k i k kj n k = i j = i k kj = = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 H H T T T (AB) B A B A B A (AB) 1 1 1 = = = = − − − H A = A −1 H B = B −1 T = (AB)
酉矩阵 酉矩阵的性质 若是酉矩阵,则detA=1,或 det adet A= det a det=1 证明: 1=det/= det(a"a)=det a"det A=det(a)det A -det a det a=det a det A=det A->det A det(a)=det(a k k det a (-1)/A 11j ∑ 14-1=∑a1(-)14 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲8
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-8 酉矩阵 – 酉矩阵的性质： • 若A是酉矩阵，则 ，或 证明： det A =1 det Adet A= det Adet A =1 2 det det det det det 1 det det( ) det det det( ) det A A A A A I A A A A A A H H T = = = = = = = det A =1 det(A) = det(A) k k j j k j j k j j k j j k j j k j j k j k j j j k A a A a A A a A a A det ( 1) ( 1) det ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = − = − = − = − = − + = − + = − + = − +
酉矩阵 酉矩阵的性质: A是酉矩阵<→A的n个列向量是两两正交的单位向量 证明: 设矩阵A=(a1a2…an),则 H H AA= n 易见,A是酉矩阵的充分必要条件是 a, d 0.i≠ 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲9
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-9 酉矩阵 – 酉矩阵的性质： • A是酉矩阵 A的n个列向量是两两正交的单位向量 证明： 设矩阵 ，则 易见，A是酉矩阵的充分必要条件是 ( ) A = a1 a2 an = = n H n H n H n n H H H n H H H n H n H H H a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 ( ) = = = i j i j a a a ai H i j j 0, 1,
酉相似下的标准形 方阵4有n个线性无关的特征向量(A的所有特征值的几何重数等 于其代数重数) A~diag(a1,a2,…an 若此条件不满足,退而求其次,方阵4在复数域上总是能相似于 Jordan标准形:分块对角矩阵 A 再退而求其次,不管n阶方阵的特征向量的相关性,也不管其特 征值的代数重数和几何重数,方阵4总可以酉相似于一个上三角 矩阵 AT 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10 酉相似下的标准形 – 方阵A有n个线性无关的特征向量（A的所有特征值的几何重数等 于其代数重数） – 若此条件不满足，退而求其次，方阵A在复数域上总是能相似于 Jordan标准形：分块对角矩阵 – 再退而求其次，不管n阶方阵的特征向量的相关性，也不管其特 征值的代数重数和几何重数，方阵A总可以酉相似于一个上三角 矩阵 ~ diag( , , , ) A a1 a2 an s J J J A 2 1 ~ A ~ T