练习题 1.1 2.1,2.11,2.14,2.22 4.1,4.5,4.12,4.13,4.14,4.16 55,5.8,5.10,5.115.18,522,5.23,5.26,5.28,5.30 6.1,6.3,68,6.9,6.11 7.6,7.14,7.17 8.1,8.2,8.7,8.8,8.9,8 8.15 第四章数值积分方法与数值徽分 5.求系数A1,A2和A3,使求积公式 f(x)x≈A1f(-1)+A2f(-1/3)+A3f(1/3) 对于次数≤2的一切多项式都是精确成立的 解:求积公式 ∫(x)4(1)+4/(3)+4(均3 是一个插值型求积公式,令f(x)=1,x,x2得: A1+A2+A3=2 A1-A2+A3 A+42+41=3 解得:A1=1,A2=0,A3 12.确定参数a使求积公式的代数精度尽可能地高 ∫八(x)=(o)+f(h)+ah2r(o)-(h)() 解令:f(x)=x",n≥2得: h 公式”对f(x)=1、x精确成立 当n=2时 n=3时,a ,n=4时,a=
练习题 1.1, 2.1, 2.11, 2.14, 2.22 3.22 4.1, 4.5, 4.12, 4.13, 4.14, 4.16 5.5, 5.8, 5.10, 5.11, 5.18, 5.22, 5.23, 5.26, 5.28, 5.30 6.1, 6.3, 6.8, 6.9, 6.11 7.6, 7.14, 7.17 8.1, 8.2, 8.7, 8.8, 8.9, 8.14, 8.15 第四章 数值积分方法与数值微分 5. 求系数 1 2 3 A , A 和A ，使求积公式 − − + − + 1 1 1 2 3 f (x)dx A f ( 1) A f ( 1/ 3) A f (1/ 3), 对于次数 2 的一切多项式都是精确成立的. 解：求积公式 − − + − + 1 1 1 2 3 ) 3 ) ( 1 3 f (x) dx A f ( 1) A f ( 1 A f 是一个插值型求积公式，令 2 f (x) =1, x, x 得： 2 , A1 + A2 + A3 = 0 , 3 1 3 1 − A1 − A2 + A3 = 3 2 9 1 9 1 A1 + A2 + A3 = ， 解得： 2 1 A1 = ， A2 = 0 ， 2 3 A3 = 12. 确定参数 a 使求积公式的代数精度尽可能地高 [ (0) ( )] [ (0) ( )]. 2 ( ) 2 0 f f h ah f f h h f x dx h + + − (*) 解 令： n f (x) = x ， n 2 得： 1 1 1 2 1 1 1 + + + = − + n n n h h anh n , an n = − + 2 1 1 1 , 2 ( 1) 1 + − = n n n a 公式(*) 对 f (x) = 1、 x 精确成立. 当 n = 2 时， 12 a = 1 ， n = 3 时， 12 a = 1 ， n = 4 时， 40 = 3 a
故:当取a=12时,()具有3次代精确度 13假定求积公式 x2f(x)dx≈A0f(x0) 对于1,x精确成立,试求x0,Ao 解:由 x2dx dx= Ao xo 可得:A6 dx =0 故 dxr≈ 16.求数值微分公式的余项 f(x0)≈(-3f(x0)+4f(x+h)-f(x+2h)/2h 解:于x +h三点作f(x)的 Lagrange插值多项式 L2(x) (x-x0-h)(x 2h) f(x0) (x-xo(x 2h) f(xo + h) (x-x0)(x-x f(x0+2h) 2h 2x-2x-3h L2(x) 2x-2 f(ro+h) (2x-2x0-h f(x0+2h) 得 f(x0)≈L2(x0)=(-3f(x)+4f(x+h)-f(x+2h)/2h 余项:因为 R(x)=f(x)-L2(x) (x-x0 Mo 有 R(x0)=f(x)-L2(x0) h2 3 第五章线性代数方程组的解法
故：当取 12 a = 1 时，（*）具有 3 次代精确度. □ 13 假定求积公式 − 1 1 0 0 2 x f (x)dx A f (x ) 对于 1， x 精确成立，试求 0 0 x , A 解： 由 − = 1 1 0 2 x dx A ， − = 1 1 0 0 3 x dx A x 可得： 3 2 3 1 1 3 0 = = − x A ， − = 1 1 2 0 0 1 x dx A x = 0 故： − 1 1 2 (0) 3 2 x f (x)dx f . □ 16. 求数值微分公式的余项. f (x0 ) (−3 f (x0 ) + 4 f (x0 + h) − f (x0 + 2h))/ 2h . 解：于 0 x ， x0 + 2h ， x0 + h 三点作 f (x) 的 Lagrange 插值多项式： ( ) 2 ( )( 2 ) ( ) 2 0 0 0 2 f x h x x h x x h L x − − − − = ( ) ( )( 2 ) 2 0 0 0 f x h h x x x x h + − − − − + ( 2 ) 2 ( )( ) 2 0 0 0 f x h h x x x x h + − − − + . ( ) 2 2 2 3 ( ) 2 0 0 2 f x h x x h L x − − = ( ) (2 2 2 ) 2 0 0 f x h h x x h + − − − + ( 2 ) 2 (2 2 ) 2 0 0 f x h h x x h + − − + . 令 0 x = x ，得： ( ) ( ) 0 2 0 f x L x = (−3 f (x0 ) + 4 f (x0 + h) − f (x0 + 2h))/ 2h 余项：因为 ( )( )( 2 ) 3! ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 (3) 2 x x x x h x x h f R x = f x − L x = − − − − − 有 . 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 (3) 0 0 2 0 h f R x f x L x = − = 第五章 线性代数方程组的解法
10.试证对n维向量x有 2≤|≤ 证明:|1=∑x≤ n max/xk|=n 又x1|≥maxx,故:|。≤|x≤n口 11.设A为n阶实矩阵,试证 ∥。≤‖42≤‖4 明:A=(an) a,I=tr(A'A) 又:tr(AA)=A1+2+…+ 其中:为AA的特征值,由于AA为半正定矩阵,有λ1≥0 故:D(44)≥mxλ,有:‖4≥mxx=4 又:D(4≤nmx人故:24。≤4 23.给定方程组 证明 Jacobi迭代方法收敛而G-S迭代方法发散 解:方程组: 12-2 Jacobi方法:迭代矩阵 B,=D(D-A) 特征方程:det(a-B1)=0 或 det(D-)det(lD-(L+U=0 2an a12 a a 23 lA1=0
10．试证对 n 维向量 x 有 x x n x 1 . 证明： = = n k k x x 1 1 n x = n x k k max 又 k k x max x 1 , 故： x x n x 1 . □ 11．设 A 为 n 阶实矩阵，试证 . 1 F 2 F A A A n 证明： A aij nxn = ( ) = = = n i n j a F aij 1 1 2 2 tr(A A) T = 又： n T tr(A A) = 1 + 2 ++ 其中： i 为 A A T 的特征值，由于 A A T 为半正定矩阵，有 i 0 故： i i T tr(A A) max , 有： ( ) 2 2 1 A max i A i F = . 又： ( )i i T tr(A A) n max , 故： 2 1 A A n F . □ 23．给定方程组 = − 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 3 2 1 x x x . 证明 Jacobi 迭代方法收敛而 G-S 迭代方法发散. 解：方程组： − 2 2 1 1 1 1 1 2 2 3 2 1 x x x = 1 1 1 Jacobi 方法：迭代矩阵： ( ) 1 B1 = D D − A − 特征方程： det(I − B1 ) = 0 或： det( ) det( ( )) 0 1 − + = − D D L U 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 0 2 2 1 1 2 2 = − =
2=0,p(B1)=0, Jacobi方法收敛 auss-Seidel迭代方法 迭代矩阵: B2=(D-D)U,de(-B2)=0,(特征方程) 或B2的特征化为下面方程的根 de((D-L)-U)=0 1a 2 23-42+42+422-2x2-2x2=0 3-42+42=0,A(A-2)2=0 1=0,A (重根) 故:P(B2)>1, Gauss-Seidel迭代方法发散 26.设求解方程Ax=b的简单迭代法 x+)=Gx+d,k=0,2, 收敛.求证当0<o<1时,迭代法 x*+=[(1-o)+o1x*)+od,k=0, 收敛 证明: 收敛 当:0<0<1 [(/+gLx 收敛 1-c+ aols|-ol+opal 30.设有方程组Ax=b,其中A为对称正定阵,试证当松弛因子O满足0<o<2/B(B 为A的最大特征值)时下述迭代法收敛 O(b-Ax),k=0.1 证明:Ax=b,A对称正定,A4>0, b-Ax6)=(1-)x)+ob 1|=1 时,收敛 0<λ,<2
0 3 = ， (B1 ) = 0 ， Jacobi 方法收敛 Gauss-Seidel 迭代方法： 迭代矩阵： B D L U 1 2 ( ) − = − , det(I − B2 ) = 0 , （特征方程） 或 B2 的特征化为下面方程的根： det((D − L) −U) = 0 即： 0 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = a a a a a a a a a , 0 2 2 1 2 2 = − 4 4 4 2 2 0 3 2 2 2 2 − + + − − = 4 4 0 3 2 − + = ， ( 2) 0 2 − = 1 = 0 ， 1,2 = 2 （重根） 故： (B2 ) 1, Gauss-Seidel 迭代方法发散. □ 26．设求解方程 Ax = b 的简单迭代法 x (k+1) = Gx(k ) + d, k = 0,1,2, 收敛. 求证当 0 1 时，迭代法 x (k +1) = [(1−)I +G]x (k ) +d, k = 0,1,2, 收敛. 证明： x Gx d k k = + ( +1) ( ) 收敛, 当： 0 1 x I G x d k k = − + + ( +1) ( ) [(1 ) ] 收敛 Q = 1− + G Q 1− + G = 1−(1− G ) 1. □ 30．设有方程组 Ax = b ，其中 A 为对称正定阵，试证当松弛因子 满足 0 2 / （ 为 A 的最大特征值）时下述迭代法收敛： ( ), (k 1) (k ) (k ) x = x + b − Ax + k = 0,1,2, . 证明： Ax = b ， A 对称正定, A 0， ( ) (k 1) (k ) (k ) x = x + b − Ax + I A x b k = − + ( ) ( ) (*) 当： G = 1− A 1 时，收敛 −11− A 1 0 A 2 A 2 0
故当0<<2时(收敛B=mx 第六章习题 1.利用圆盘定理估计下列矩阵特征值的界 (1) (2) (3) 解:(1) A=-11 A-1≤2,D3:-2≤2 ∈D∪D 321 103 由A=A,A的特征值为实数 盖尔圆盘 D ≤2 A-3≤ ,戏,础∈D∪D2∪D2=D1, 1 4 A=A,A的特征值为实数。 D2:2-4≤2 ∈D∪D2=D2 3.设A=(a,)为n阶实对称矩阵,A1≥2≥…≥为其特征值,证明
故当 2 0 时(*)收敛. = max A . □ 第六章 习 题 1．利用圆盘定理估计下列矩阵特征值的界: （1） − − − − 1 1 2 1 1 1 1 0 0 ； （2） 1 0 3 2 3 0 3 2 1 ； （3） 1 4 1 1 4 4 1 . 解： (1) − − − − = 1 1 2 1 1 1 1 0 0 A 1 (1) A = − ， 盖尔圆盘： D2 ： −1 2 , D3： − 2 2 (2) A , 2 3 (3) A D D , A 4 . (2) = 1 0 3 2 3 0 3 2 1 A 由 T A = A ， A 的特征值为实数。 盖尔圆盘： D1 ： −3 3 D2 ： −3 2 D3： − 3 1 (1) A ， (2) A ， (3) A D1 D2 D3 = D1， A 6 (3) 4 1 1 4 1 1 4 A = T A = A ， A 的特征值为实数。 盖尔圆： D1 : − 4 1 D2 : − 4 2 1 2 ( ) D D i A = D2 . A 6 . □ 3．设 ( ) i j A = a 为 n 阶实对称矩阵， 1 2 n 为其特征值，证明 n aii 1 , i =1,2, ,n