重庆大学数理学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（吴新生）

0zOf.2或f(x x, y) ax ax 类似的,可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的 二偏导函数,记作 ●● ,0,,或/(x,y) dy ay 求 时只要把y暂时看作常量对x求导数;求D 时只要把暂X时看作常量对y求导数 例题 圆國圖回

类似的，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的 偏导函数，记作 求 时只要把y暂时看作常量对x求导数；求 时只要把暂x时看作常量对y求导数. , , ( , ) x x z f z f x y x x     或 , , ( , ) y y z f z f x y y y     或 f x   f y   例题 上一页 下一页 返 回

z=f(o,y f(x, yo) yo y 图8-6 圆圆回

图 8-6 x y z 0 x 0 y O M 0 Tx Ty 0 z  f (x , y) 0 z  f (x, y ) 上一页 下一页 返 回

二、高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数 f(x,y),=f,(x, y) ax 那么在D内∫(x,y)、f(x,y)都是x,y的函数如 果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数 z=f(x,y)的二阶偏导数按照对变量求导次序的 不同下列四个二阶偏导数: (a)o2 0()2z Fala a =f(x, y), =f (, y) Oy ac)aoy 圆下圆回

二、高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数 那么在D内 都是x,y的函数.如 果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数 z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的 不同下列四个二阶偏导数： 2 2 2 ) , ( ,) , ( yx xx z z z z y x f y x f y x x y x x x                            ( , ), ( , ) x y z z f x y f x y x y       ( , ) ( , ) x y f x y 、f x y 2 2 2 ( , ), ( , ) xx xy z z z z f x y f x y x x x y x x y                        上一页 下一页 返 回

二元函数z=f(x,y)在点(xn2y)的偏导数有下 述几何意义 设M(xn,y,f(xn)曲面z=f(x,y)上的一点 过M作平面y=,截此曲面得一曲线,此曲 线在平面y=H上的方程为=f(xy)则导数 af(xy)=、,即偏导数∫(xy),就是 这曲线在点M处的切线M0T对x轴的斜率(见 二图8-6)同样偏导数f(x y)的几何意义是曲 面被平面x=x0所截得的曲线在点M处的切线 M07对y轴的斜率 圆圆回

二元函数z=f(x,y)在点 的偏导数有下 述几何意义. 设 为曲面z=f(x,y)上的一点, 过 作平面 ，截此曲面得一曲线，此曲 线在平面 上的方程为 ,则导数 ，即偏导数 ,就是 这曲线在点 处的切线 对x轴的斜率(见 图8-6).同样偏导数 的几何意义是曲 面被平面 所截得的曲线在点 处的切线 对y轴的斜率. 0 0 (x , y ) 0 0 0 0 0 M (x , y , f (x , y )) M0 0 y  y 0 y  y 0 z  f (x, y ) 0 0 ( , ) d f x y dx x  x 0 0 ( , ) x f x y M0 M0Tx 0 0 ( , ) y f x y 0 x  x M0 M0Tx 上一页 下一页 返 回

a (02 8z 0(c)02z a(厂x =f(x,y)2 =f,o, y 二其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数,同 样可得三阶、四阶、…以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 例题 定理如果函数z(9)的两个二阶混合偏 F导数0 及 在D内连续,那么在该区域内 这两个二阶混合偏导数必相等 例题 3回

其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏 导数 及 在D内连续，那么在该区域内 这两个二阶混合偏导数必相等. 2 2 2 ) , ( ,) , ( yx xx z z z z y x f y x f y x x y x x x                            2 2 2 ( , ), ( , ) yx yy z z z z f x y f x y x y y x y y y                            2 z y x    2 z x y    例题 例题 上一页 返 回