重庆大学数理学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（吴新生）

第三节全微分及其应用 习题

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第三节全微分及其应用 二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一 个自变量固定时,因变量相对于该自变量的变 化率 f(x+Ax,y)-f(x,y)≈f(x,y)△x f(x,y+△y)-f(x2y)≈f,(x,y)y 上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的 。偏增量,而右端分别叫做二元函数对x和对y的 偏微分. 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定 义,并设P'(x+Ax,y+4y)为这邻域内的任意一 圆圆回

第三节 全微分及其应用 二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一 个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变 化率. 上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的 偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y的 偏微分. 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定 义，并设 为这邻域内的任意一 ( , ) ( , ) ( , ) x f x  x y  f x y  f x y x ( , ) ( , ) ( , ) y f x y  y  f x y  f x y y P(x  x, y  y) 上一页 下一页 返 回

点,则称这两点的函数值之差f(x+xy+)-f(xy) 为函数在点P对应于自变量增量△x、△y的全增 量,记作△z,即 △z=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y) 定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增 量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)(1) 二可表示为 △z=A△x+BAy+0(P) 圆圆回

点，则称这两点的函数值之差 为函数在点P对应于自变量增量Δx、Δy的全增 量，记作Δz，即 定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增 量 (1) 可表示为 f(xx,yy)f(x,y) z  f (x  x, y  y)  f (x, y) z  f (x  x, y  y)  f (x, y) z  Ax  By  o() 上一页 下一页 返 回

其中A、B不依赖于△x、△y而仅与x,y有关, p=(Ax)2+(△y2,则称函数z=f(x,y)在点(x,y) 二可微分,而AAx+BAy称为函数z=f(x,y)在点 (xy)全微分,记作dz,即 dz=A△+B△v (2) 如果函数在区域D内各点处都可微分,那么称 这函数在D内可微分 下面讨论函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分的条 件 定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点 圆國圖回

其中A、B不依赖于Δx、Δy而仅与x,y有关， ，则称函数z=f(x,y)在点(x,y) 可微分，而 称为函数z=f(x,y)在点 (x,y)全微分，记作dz,即 (2) 如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称 这函数在D内可微分. 下面讨论函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分的条 件.定理1(必要条件) 如果函数z=f(x,y)在点 2 2   (x)  (y) Ax  By dz  Ax  By 上一页 下一页 返 回

(x,y)可微分,则该函数在点(x,y)的偏导数 O ax 必定存在,且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微 分为 az dz=△x+~△y (3) or 证设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是 对于点P的某个邻域内的任意点P(x+Ax,y+Ay) ,(2)式总成立特别当Ay=0时(2)式也应成立, 这时p=x,所以(2)式成为 圆圆回

(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数 必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微 分为 (3) 证 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是 对于点P的某个邻域内的任意点 ，(2)式总成立.特别当 时(2)式也应成立， 这时 ，所以(2)式成为 z x   z y   z z dz x y x y         P(x  x, y  y)   x y  0 上一页 下一页 返 回