运筹学同步辅导及习题全解 ⊙13在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解，指出哪些是基可行解， 并代入目标函数，确定哪一个是最优解。 (1)max=2x1十3x2+4x3+7x4 (2x1+3x2-x-4x4=8 s.t{1-2x2+6x-7x,=-3 x1,x2,x4≥0 (2)maxx=5x1-2x2+3-6x x1+2x2+3x3+4x1=7 s.t.2x1+x2+x3+2x4=3 x1xx3,x≥0 分析本题考查了线性规划问题的基本解的计算。 解(1)在第二个约束条件两边同时乘以一1，则第二个约束条件转化为 -x1+2x2-6x3+7x1=3 从面，的系数列向量B-[2]的系数列向量- [3] ,的系数列向量 -1 P-1 ,x1的系数列向量P, 「-41 -6 7 ①因为P、P,线性独立，故有 2红+3红，=8+马+4x -x1+2x2=3+6x1-7x 令非基变量=4=0，得凸=】 x2=2 从而得到一个基本可行解 X)=(1,2,0.0)T,x1=2×1+3X2=8 ②因为P、P,线性独立，故有 /2x1-x3=8-3x2十4x -1-6=3-2x2-7x 45 x1=13 令非基变量x2=x,=0,得 从而得到一个基本解 X=(0,-普0 因为4=一片<0，所以该解是非可行解。 ③因为P、P,线性独立，故有 12x1-4x4=8-3x2十x3 1-1+7x=3-2x2+6x ·10·
0123456789:; +!$# \¾^pMN@OPQ3wõö)*+,pµjqF$wLM¥qYF$ ÔÃ%&’($®kL-¥}BF’ !!"%&’!*#&!2$/&$2?&/ ,"-" #&!2$ &$8/&/*> &!8#=&$8?&/*8$ &!$&#$&$$&/$ % & ’ + !#"%&’!*;&!8#$&$8=&/ ,"-" &!2#$&$2/&/*? #&!2  &$2#&/*$ &!$&#$&$$&/$ % & ’ + KL rQFoMN@OPQpqrFp¹º’ ; !!"\Òg)*+,ÚRZ8!$¤Òg)*+,½X4 8&!2#=&$2?&/*$ Õ$&! p7(¿$,!*- # . / 8!0 $&# p7(¿$,#*- . / 0 $ # $&$ p7(¿$ ,$*-8! . / 8=0 $&/ p7(¿$,/*-8/ . / ?0 ’ ! Q4,!,# MN$ij #&!2$&#*>2&$2/&/ *8&!2#&#*$2=&$8?&/ b´q#$&$*&/*+$¸ &!*! *&#*# Õ¸-qrYF 1!!" *!!$#$+$+"3$!!*#:!2$:#*> " Q4,!,$ MN$ij #&!8&$*>8$/&/ *8&!8=&$*$8#?&/ b´q#$&#*&/*+$¸ &!*/; !$ &$*8 % !/ & ’ !$ Õ¸-qrF 1!#" *!/; !$$+$8!/ !$$+"3 Q4&$*8!/ !$1+$µZ/F¥´YF’ # Q4,!,/ MN$ij #&!8/&/*>8$&$ *8&!2?&/*$8#=&$ (!*(
第一章线性规划与单纯形法 令非基变量x:=x=0,得 从而得到一个基可行解 Xm=(4,00,号)r,=2x+7×号= ④因为P2、P3线性独立，故有 32-x,=8-2x1十4x 2x2-6.x3=3+x1-7x - 令非基变量x=x:=0,得 -品 从而得到一个基可行解 Xw-0000-3x0+4x是-g ⑤因为P、P,线性独立，故有 3x2-4x1=8-2x1十x {2x2+7x=3+x+6x 68 x4=29 令非基变量=x=0,得 从而得到一个基本解 X=0器0.r 因为x=一3<0，所以该解是非可行解。 ⑥因为P、P,线性独立，故有 -x-4x4=8-2x1-3x: -6n+7x,=3+-2 令非基变量x=x2=0,得 从而得到一个基本解 X0=0.0,-0.-7 因为-一<0-一<0，所以该解是非可行解。 比较14，可知=为最大值，故最优解为X=X心=(40,0 ·11
A*B !"#$%&’() b´q#$&#*&$*+$¸ &!*$/ ; &/* % & ’ ? ; Õ¸-qYF 1!$" *!$/ ;$+$+$? ;"3$!$*#:$/ ;2?:? ;*!!? ; $ Q4,#,$ MN$ij $&$*>8#&!2/&/ *#=&$*$2&!8?&/ b´q#$&!*&/*+$¸ &#*/; != &$* % ? & ’ != Õ¸-qYF 1!/" *!+$/; !=$? !=$+"3$!/*$:/; !=2/:? !=*!=$ != % Q4,#,/ MN$ij $/&/*>8#&!2&$ *#?&/*$2&!2=&$ b´q#$&!*&$*+$¸ &#*=> #< &/*8 % ? & ’ #< Õ¸-qrF 1!;" *!+$=> #<$+$8? #<"3 Q4&/*8? #<1+$µZ/F¥´YF’ ) Q4,$,/ MN$ij 8&$8/&/*>8#&!8$&# *8=&$2?&/*$2&!8#&# b´q#$&!*&#*+$¸ &$*8=> $! &/*8 % /; & ’ $! Õ¸-qrF 1!=" *!+$+$8=> $!$8/; $!"3 Q4&$*8=> $!1+$&/*8/; $!1+$µZ/F¥´YF’ X!!$!$$!/$Y!$ *!!? ; 4}ä;$i}BF4 12 *1!$"*!$/ ;$+$+$ (!!(
运筹学同步辅导及习题全解 ，目标函数最优值为”-号。 (2)易知西的系数列向量B-的系数列向量R, ,的系数列向量P 「3] 的系数列向量P,=] ①因为P、P:线性独立，故有 m+2x2=7-3x-4x 21十x2=3-x-2x 令非基变量x=4=0,得 -号 从而得到一个基本解 X=(-3,号，0,0) 因为=-号<0，所以该解是非可行解。 ②因为P1、P线性独立，故有 1x1+3x3=7-2x2-4x 2x1十x3=3-x2-2x =号 令非基变量x2=x,=0,得 从而得到一个基可行解 X=层0，号0，=5×号+3x号-号 ③因为P、P,线性独立，故有 1x1+4x4=7-2x2-3x3 2x1+2x1=3-x2-x 令非基变量x2=x=0,得 从而得到一个基本解 xw-(-子0.0.0) 因为五=一了<0，所以该解是非可行解。 ④因为P2、P,线性独立，故有 ·12
0123456789:; ? ;"3$%&’(}B;4!2 *!!? ; ’ !#"c$&! p7(¿$ ,!*- . / 0 ! # $&# p7(¿$ ,#*- . / 0 # ! $&$ p7(¿$ ,$* - . / 0 $ ! $&/ p7(¿$,/*- . / 0 / # ! Q4,!,# MN$ij &!2#&#*?8$&$8/&/ *#&!2&#*$8&$8#&/ b´q#$&$*&/*+$¸ &!*8! $ &#* % !! & ’ $ Õ¸-qrF 1!!" *!8! $$!! $$+$+"3 Q4&!*8! $1+$µZ/F¥´YF’ " Q4,!,$ MN$ij &!2$&$*?8#/&/ *#&!2&$*$8#&/ b´q#$&#*&/*+$¸ &!*# ; &$* % !! & ’ ; Õ¸-qYF 1!#" *!# ;$+$!! ;$+"3$!#*;:# ;2$:!! ;*/$ ; # Q4,!,/ MN$ij &!2/&/*?8#$&$ *#&!2#&/*$8&$ b´q#$&#*&$*+$¸ &!*8! $ &/* % !! & ’ = Õ¸-qrF 1!$" *!8! $$+$+$!! ="3 Q4&!*8! $1+$µZ/F¥´YF’ $ Q4,#,$ MN$ij (!"(
第一章线性规划与单纯形法 2x+3=7-4x x2+xn=3-2x1-2x4 令非基变量1=4=0，得5=2 x3=1 从而得到一个基可行解 X=(0,2,1,0),24=-2×2+3×1=-1 ⑤因为P2、P,线性相关，故2，不能构成基变量。 ⑥因为P3、P,线性独立，故有 3x1+4x=7-1-2x2 x+2x4=3-2x1-x 令非基变量-=0，得51 x4=1 从而得到一个基可行解 X6=(0,0,1,1)T,26=3×1+(-6)X1=-3 比较4，可知-号为最大值，故最优解为X”=X=(号，0，号，0)，目标 函数最优值为”一。 ●1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形法迭代的每一步 相当于图形上哪一个顶点。 (1)max z=2r+r: (2)maxz=2x1十5x2 3m+5x,≤15 ≤4 s.t.6x1+2x2≤24 2x2≤12 s.t. x1x2≥0 341+2x2≤18 x≥0 图1-6 分析对单纯形表的每次迭代要认真计算。 ·13·
A*B !"#$%&’() #$&$*?8&!8/&/ *&$*$8#&!8#&/ b´q#$&!*&/*+$¸ &#*# *&$*! Õ¸-qYF 1!/" *!+$#$!$+"3$!/*8#:#2$:!*8! % Q4,#,/ MN ¡$i&#$&/ S0!áq#$’ ) Q4,$,/ MN$ij $&$2/&/*?8&!8#&# *&$2#&/*$8#&!8&# b´q#$&!*&#*+$¸ &$*! *&/*! Õ¸-qYF 1!=" *!+$+$!$!"3$!=*$: !2!8=":!*8$ X!#$!/$!=$Y!#*/$ ;4}ä;$i}BF412 *1!#" *!# ;$+$!! ;$+"3$%& ’(}B;4!2 */$ ;’ 3!$% àUeEFG3I/GLF¾¿MN@OPQ$ÔwI/G¢p+- hfE/_L-©D’ !!"%&’!*#&!2&# ,"-" $&!2;&##!; =&!2#&###/ &!$&#$ % & ’ + !#"%&’!*#&!2;&# ,"-" &! #/ #&##!# $&!2#&##!> &!$&#$ % & ’ + E!8= KL ªI/¯p+£¢:¤¥¹º’ (!#(
运筹学同步辅导及习题全解 解(1)解1：图解法。 图1一3中的阴影区域为可行域，可见目标函数之=2x1十x2在点Az处达到最 大康都方程他”有水的标导多一停号 =2×5+2-照 4 解2：单纯形法。 在上述问题的约束条件中分别加入松弛变量x,工，得该线性规划问题的标准型 max z=2r1+r:+0r,+0x /3x1+5.x2+x3=15 s.tJ61+2x2 十x=24 ,2,x≥0 由线性规划问题的标准型可列出初始单纯形表逐步迭代，计算结果如下表所示。 表1一4 2 1 0 0 C X b 0 3 15 3 5 0 5 24 [6] 2 c)一 2 1 0 0 3 0 [4] -1/2 3/4 4 1 1/3 0 1/6 12 0 1/3 0 -1/3 T: 3/4 0 1 1/4 -1/8 15/4 0 -1/12 5/24 C,一， 0 0 -1/12 -7/24 单纯形表的计算结果表明：X=(5,0,0),g-2×5+-3 单纯形表迭代的第一步得Xo)=(0,0,15,24)T,表示图中原点(0,0)。 单纯形表迭代的第二步得X)=(4,0,3,0)T,表示图中A,点。 单纯形表法代的第三步得X-(停，是0.0，表示图中A点。 (2)解1：图解法。 图1一7中的阴影区域为可行域，可见目标函数z=2x1+5x2在点A,处达到最 大，求解方程组3+2，=18 22=12 可知A,的坐标为(2,6) 所以 X·=(2,6)r,x'=2×2+5×6=34 解2：单纯形法。 在上述问题的约束条件中加入松弛变量，x,x,得该线性规划问题的标准型 14
0123456789:; ; !!"F!#EFG’ E!8$3p"4Y$Y%&’(!*#&! 2&# \D 7# ¦} ä$LFø $&!2;&#*!; *=&!2#&#*#/ Y7# p&4!!; /$$ /"$µZ 12 *!!; /$$ /"3$ !2 *#:!; /2$ /*$$ / F##I/G’ \_;PQp)*+,3àUÝç¨#$&$$&/$¸/MN@OPQp&<= %&’!*#&!2+&$2+&/ ,"-" $&!2;&$ *!; =&!2#&# 2&/*#/ &!$&#$&$$&/$ % & ’ + gMN@OPQp&<=Y¿wI/¯ ¢$¹º©%$¾¯µ’ ¯!8/ %# # ! + + 98 18 ) &! &# &$ &/ "( + &$ !; $ ; ! + ; + &/ #/ /=0 # + ! / %#8!# # ! + + + &$ $ + //0 ! 8!-# $-/ # &! / ! !-$ + !-= !# %#8!# + !-$ + 8!-$ ! &# $-/ + ! !-/ 8!-> # &! !;-/ ! + 8!-!# ;-#/ %#8!# + + 8!-!# 8?-#/ I/¯p¹º©%¯é#12 *!!; /$$ /$+$+"3$!2 *#:!; /2$ /*$$ / I/¯¢pÒ- ¸ 1!+" *!+$+$!;$#/"3$¯E3sD!+$+"’ I/¯¢pÒg ¸ 1!!" *!/$+$$$+"3$¯E37! D’ I/¯¢pÒE ¸ 1!#" *!!; /$$ /$+$+"3$¯E37# D’ !#"F!#EFG’ E!8?3p"4Y$Y%&’(!*#&! 2;&# \D 7$ ¦} ä$LFø $&!2#&#*!> *#&#*!# Y7$ p&4!#$=" µZ 12 *!#$="3$!2 *#:#2;:=*$/ F##I/G’ \_;PQp)*+,3Ýç¨#$&$$&/$&;$¸/MN@OPQp&<= (!$(