第一章线性规划与单纯形法 【例2】max=2x1十4x m+x2≤6 x1+2x2≤8 s.t. x2≤3 1,x2≥0 解题分析题目中只有两个变量，故可用单纯形方法求解外还可用图解法求解。而图解法 比单纯形法简单直观，故用图解法求解。 解题过程图解法求解： ①建立平面直角坐标系，确定决策变量的可行域。如图1一1(a)所示，区域 0ABCD为可行域。 图1-1(a) 图1-1(b) ②画出目标函数等值线，确定优化方向。 目标函数为=2x1十4x2是斜率为一1/2，在纵轴上的截距为/4的平行直 线族。若取之为一确定的值，如令之=0，则得一条等值线0=21十4x:,即x =-x1/2:如令之=12，则得另一条等值线12=2x1十4x2,即 x2=一x1/2十3，如图1-1(b)所示。容易看出，沿着目标函数的法线方向向 右上方平行移动，是它等值线的优化方向。 ③确定最优解。 在可行域0ABCD中找令之值达到最大的点。由图1-1(b)容易看出，当等值 ·5·
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运筹学同步辅导及习题全解 线平移到C点时，如果继续向上移，就离开了可行域，而且此时等值线的最佳 位置与可行域边界CB重合。因此C点、B点以及线段CB上所有的点，都是 使目标函数值达到最大值的点，是最优解。 求得C点Xc=(2,3)r与B点XB=(4,2)',此时求得maxx=16。目标函数 z=2x1十4r2的通解可表示为X=aXc十(1一a)Xg,0≤a≤1。 历年考研真题评析 【题】(2005年华南理工大学)设某种动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100 毫克维生素。现有5种饲料可供选择，每种饲料每公斤营养成份的含量及单价如下 表所示： 试建立既满足动物生长需要，又使费用最省的选用饲料方案的线性规划模型 表1-1 饲料 蛋白质（克） 矿物质（克） 维生素（毫克） 价格（元/公斤） 3 0.5 0.2 2 2 0.5 1 0.7 3 1 0.2 0.2 0.4 6 2 2 0.3 5 18 0.5 0.8 0.8 解题分析这是一道较简单的数学规划模型问题，根据题意写出约束即可。 解题过程min之=0.2x1十0.7x2十0.4x十0.3x4十0.8xs 3x1+2x,+ x1+6x,+18x≥700 x1+0.5x2+0.2x+2x4+0.5x5≥30 s.t. 10.5x1+x2+0.2.+2x+0.8x≥100 x1xx4≥0 课后习题全解 ○1.I用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有惟一最优解、无穷多最优解、 无界解还是无可行解？ (1)max s=r1+3r2 (2)minx=x1+1.5x2 5x1+10x2≤50 x1+x2≥1 1+3x2≥3 s.t. x2≤4 s.t+x≥2 x≥0 x1,x2≥0 (3)max :=2x1+2ra (4)maxz=x1十x2 x1-x2≥-1 x-x2≥0 s.t.-0.5x1+x2≤2 s.t.J3x1-x2≤-3 x1,x2≥0 x1,x2≥0 解(1)图1一2中的阴影部分为此线性规划问题的可行域，目标函数=x+3x2,即x2 ·6
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第一章线性规划与单纯形法 =一子1十三是斜率为一号的一族平行线，易知=3，？=0为可行解，由线性 规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得，将直线x十3x=3沿其法线方向 逐渐向上平移，直至A点，A点坐标为(2,4)。 图1-2 所以 maxz=2+3×4=14 此线性规划问题有惟一最优解。 (2)图1一3中的阴影部分为此线性规划问题的可行域，目标函数x=十1.5x:,即 =一号十号：是斜率为-号的一族平行线，易知=3，=0为可行解，由 线性规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得。 将直线x1十1.5x2=3沿其法线方向逐渐向下平移，直至B点，B点坐标为 (受】 所以 mim=号+1.5×号-号 此线性规划问题有惟一最优解。 图1-3 (3)图1一4中阴影部分为线性规划问题的可行域，目标函数之=2m十2x,即 工=一x1+号是斜率为一1的一族平行线，易知工1=0，工=0为可行解。在将 直线2，+2x2=0沿A其法线方向逐渐向上平移的过程中发现：日标函数的值 可以增加到无穷大。故此线性规划问题为无界解。 ·7
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运筹学同步辅导及习题全解 图1-4 图1-5 (4)如图1一5所示，此问题的可行域为空集，故此线性规划问题无可行解。 ⊙1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。 (1)min=-3.x1+4x2-2x+5x4 4x1-x2十2x-x1=-2 x1十x2十3x1-x4≤14 8.t -2x1+3x2-x1+2x4≥2 ,x2,x≥0，x无约束 (2)max s=z/pe daTa -xa=-1 (i=1,.,n) x≥0 (i=1,.,n:k=1,.,m 分析本题考查了线性规划问题的标准形式和初始单纯形表， 解(1)将此线性规划问题化为标准型。 令x4=x5一x6,2=一 其中6，x6≥0 所以 max 2'=-min ()=-min 则得到标准型为 max2'=3x1-4x2+2x3-5(x;-x6）+0·x,十0·xg-Mx,-Mxo ·8
0123456789:; E!8/ E!8; !/"$E!8;µ$bPQpY4§$ibMN@OPQ~YF’ +!$" U¾¿MN@OPQ#Âá&<=$Ô¿wI/¯’ !!"%()!*8$&!2/#&$2;&/ ,"-" /&!8#&$8&/*8# &!2$&$8&/#!/ 8#&!2$&$2#&/$# &!$&#$&$$+$&/ % & ’ ~)* !#"%&’4*!+-;+ !+* " " ($! " * +$! ’(+&(+ " * +$! 8&(+*8! !(*!$%$"" &(+$+ !(*!$%$"&+*!$%$* % & ’ " KL rQFoMN@OPQp&</03I/¯’ ; !!"UbMN@OPQX4&<=’ b&/*&;8&=$!<*8! 23&;$&=$+ µZ %&’!<*8%()!8!<"*8%()! ¤¸&<=4 %&’!<*$&!8/#&$8;!&;8&="2+(&?2+(&>8/&<8/&!+ (((
第一章线性规划与单纯形法 =2 x1+x2十3x-x6+x6十x7 =14 s.t. -2x1十3x2-x3十2x-2x6-x8十xg=2 Z1.2s.5.61020 其中M是一个任意大的正数。 初始单纯形表见表1一2。 表1一2 -4 -5 X. 3 -M 2 -4 1 -2 0 14 1 3 -M 2 -2 [3]-1 -:'4M3-6M4M-42-3M3M-55-3M0 M (2)在上述问题的约束条件中加入人工变量x1,x,x,得 x4≥0，x,≥0(i=1,2,.,n:k=1,2,.,m) 其中M是一个任意大的正数。 初始单纯形表见表1一3。 表】一 x11 -M 0 0 -M 0 0 1 0 +M +M +M PE+M ·9
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