52.1子空间的概念 设是数域F上一个向量空间.W是V的一个非空子集 对于W中任意两个向量a,β,它们的和α+阝是中 个向量.一般说来,α+β不一定在W内如果W中任 意两个向量的和仍在W内,那么就说,W对于V的加 法是封闭的.同样,如果对于W中任意向量α和数域F 中任意数a,aa仍在W内,那么就说,W对于标量与 向量的乘法是封闭的 首页 上页 回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 5.2.1 子空间的概念 设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空子集. 对于W 中任意两个向量α，β，它们的和α+β是V中 一个向量. 一般说来，α+β不一定在W 内.如果W中任 意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加 法是封闭的. 同样，如果对于W中任意向量α和数域F 中任意数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与 向量的乘法是封闭的
定理5.2. 设W是数域F上向量空间的一个非空子集如果W对 于V的加法以及标量与向量乘法是封闭的,那么本 身也作成上一个向量空间 定义 令W是数域F上向量空间的一个非空子集如果W对 于V的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的, 那么就称W是V的一个子空间 由定理52.1,J的一个子空间也是F上一个向量空间, 并且一定含有的零向量 首页上页返回下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 定理5.2.1 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本 身也作成上一个向量空间. 定义1 令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的， 那么就称W是V 的一个子空间. 由定理5.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间， 并且一定含有V的零向量
例1 向量空间总是它自身的一个子空间。另一方面,单 独一个零向量所成的集合{0}显然对于W的加法和标 量与向量的乘法是封闭,因而也是的一个子空间, 称为零空间。 个向量空间本身和零空间叫做的平凡子空间。 的非平凡子空间叫做的真子空间。 例2 U={4=(an)∈Mn(F)|an=0,>)时是不是Mn(F)的 子空间? W=∈MB4≠Q是不是M()的子空间2 首页 上页 回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单 独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标 量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间， 称为零空间。 一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。 V的非平凡子空间叫做V的真子空间。 例2 是不是 的 子空间？ 是不是 的子空间？ U {A (a ) M (F) | a 0,i j时} = = ij n ij = M (F) n W = {AM (F)| A| 0} n M (F) n
解U中的矩阵是上三角形矩阵,显然U为向量空间 Mn(F)的非空子集。又中Mn(F)的运算是矩阵的加 法及数与矩阵的乘法,而两个上三角形的和仍是 个上三角形矩阵,一个数与一个上三角形矩阵的乘 积仍是上三角形矩阵,所以,由子空间的定义,U 是Mn(F)的个子空间 W={A∈Mn(F)|AH≠0不是M(F)的子空间,因 为n阶单位矩阵及-I∈W,但+(-1)=O∈W 例3在空间Ⅴ2里,平行于一条固定直线的一切 向量空间作成v2的一个子空间。在间间V3里,平 行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别 作成v的子空间(6,1侧【水了 首页 上页 回
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间 的非空子集。又中 的运算是矩阵的加 法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘 积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U 是 的 一个子空间。 M (F) n M (F) n M (F) n 不是 的子空间，因 为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 W = {A M (F) | | A| 0} n M (F) n I + (−I) = O W 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切 向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平 行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别 作成V3的子空间(6.1,例1)。 例3
例4 F"中一切形如 (a1,a2,…,On2120)2x1∈F 的向量作成F的一个子空间。 例5 Fx]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连 同零多项式一起作成Fx的一个子空间。 例6 闭区间[b上一切可微分函数作成Ca,b的一个子空间 首页上页返回下页(结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 n F 中一切形如 (1 , 2 , , n−1 ,0),i F 的向量作成 F n 的一个子空间。 例5 F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连 同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。 例6 闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C [a,b]的一个子空间