(A)用参数方程表示的空间曲线：L: x=x(t), y=y(t), z=z(t), α≤t≤β若 Po(Xo,yo,zo) = (x(to), y(to),z(to) e L, 且有x(to)+ y'(to)+ z'(to) + 0,类似于平面曲线的情形，不难求得P处的切线为x-xo-y-yo- z-z0(2)t：x(to)y'(to)z(to)过点P且垂直于切线T的平面Ⅱ，称为曲线L在点 Po处的法平面(见图18一7)后页返回前页
前页 后页 返回 (A) 用参数方程表示的空间曲线: L x x t y y t z z t t : ( ), ( ), ( ), . = = = 0 0 0 0 0 0 0 若 且有 P x y z x t y t z t L ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) , = 0 0 0 0 0 0 : . (2) ( ) ( ) ( ) x x y y z z x t y t z t − − − = = 2 2 2 0 0 0 x t y t z t ( ) ( ) ( ) 0, + + 类似于平面曲线的情形 P0 , 不难求得 处的切线为 P0 过点 且垂直于切线 的平面 , 称为曲线 L 在点 处的法平面 (见图18－7). P0
因为切线T的方向向量即为11法平面Ⅱ的法向量，所以法eoL平面的方程为图18-7x'(to)(x - xo) + y'(to)(y - yo)+ z'(to)(z - zo) = 0. (3)(B)用直角坐标方程表示的空间曲线：F(x,y,z)= 0,(4)L:G(x, y,z)= 0.设 Po(xo,yo,zo)e L;F,G 在点 Po 近旁具有连续的一阶偏导数，且前页后页返回
前页 后页 返回 0 0 0 0 0 0 x t x x y t y y z t z z ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0. (3) − + − + − = ( , , ) 0, : (4) ( , , ) 0. F x y z L G x y z = = 因为切线 的方向向量即为 法平面 的法向量, 所以法 平面的方程为 (B) 用直角坐标方程表示的空间曲线： 设 P x y z L F G P 0 0 0 0 0 ( , , ) ; , 在点 近旁具有连续的 一阶偏导数, 且 图 18－7
p (0,0,0)(Jxy,Jyz7a(F,G)a(F,G)a(F,G)其中 Jxy=(x,y)Jzx=J yz = a(y,z)a(z,x)不妨设 Jx,(P)±0,于是存在隐函数组x=x(z), y= y(z), z=z.这也就是曲线L以z作为参数的一个参数方程根据公式（2)，所求切线方程为x-xo-y-yo -z-zot:1x'(zo)y'(zo)后页返回前页
前页 后页 返回 0 ( , , ) (0,0,0), x y yz zx P J J J ( , ) ( , ) ( , ) , , . ( , ) ( , ) ( , ) x y yz z x F G F G F G J J J x y y z z x = = = 其中 x x z y y z z z = = = ( ), ( ), . 0 ( ) 0, x y 不妨设 J P 于是存在隐函数组 这也就是曲线 L 以 z 作为参数的一个参数方程. 根据公式 (2), 所求切线方程为 0 0 0 0 0 : . ( ) ( ) 1 x x y y z z x z y z − − − = =
应用隐函数组求导公式，有x(zo) = -Jz(Po)/ J xy(Po),y'(zo)= -J xz(Po)/Jxy (Po)于是最后求得切线方程为X-xo =y-yo(5) 高--(高)相应于(3)式的法平面方程则为II : J yz(Po)(x -Xo)+ Jzx(Po)(y - yo)(6)+J xy(Po)(z- zo)= 0.前页后页返回
前页 后页 返回 应用隐函数组求导公式, 有 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) . z y x y xz x y x z J P J P y z J P J P = − = − 于是最后求得切线方程为 0 0 0 0 0 0 : . (5) ( ) ( ) ( ) yz z x x y x x y y z z J P J P J P − − − = = 相应于 (3) 式的法平面方程则为 0 0 0 0 : ( )( ) ( )( ) yz zx J P x x J P y y − + − 0 0 ( )( ) 0 . (6) x y + − = J P z z