由此得到L在点P处的切线与法线分别为(2/元- /元2)(×-3/元)+(1+3/元)(+3/元)=0,(1+ 3元)(×-3元)-(23元-3/元2)(+3元)=0.若在上面的MATLAB指令窗里继续输入如下指令，便可画出上述切线与法线的图象hold on;a=(pi)^(1/3);b=a^2;ezplot(2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b)后页返回前页
前页 后页 返回 由此得到 L 在点 P0 处的切线与法线分别为： 2 2 2 2 ( 2 )( ) (1 )( ) 0, (1 )( ) ( 2 )( ) 0 . x y x y − − + + + = + − − − + = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象. hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
x+y-sin()=0P00x图18-6返回前页后页
前页 后页 返回 L 0 P • 图 18－6
例3设一般二次曲线为L: Ax? + 2Bxy +Cy? +2Dx + 2Ey+ F = 0,Po(xo,Jo)E L.试证 L在点 P处的切线方程为Axox + B(yox + Xoy)+ Cyoy+D(x + xo)+ E(y+ yo)+ F = 0.证 令G(x,y) = Ax2 + 2Bxy +Cy2 + 2Dx + 2Ey+ F,Gx(Po) = 2 Axo + 2Byo + 2D,则有G,(P) = 2Bxo + 2Cyo + 2E.返回前页后页
前页 后页 返回 2 2 L Ax Bxy Cy Dx Ey F : 2 2 2 0, + + + + + = 0 0 0 0 Ax x B y x x y Cy y + + + ( ) 0 0 + + + + + = D x x E y y F ( ) ( ) 0 . 0 0 0 0 0 0 ( ) 2 2 2 , ( ) 2 2 2 . x y G P Ax By D G P Bx Cy E = + + = + + 则有 例3 设一般二次曲线为 0 0 0 P x y L ( , ) . 试证 L 在点 P0 处的切线方程为 2 2 证 令G x y Ax Bxy Cy Dx Ey F ( , ) 2 2 2 , = + + + + +
由此得到所求切线为(Axo + Byo + D)(x - xo)+(Bxo +Cyo + E)(y - yo) = 0,利用（xo,yo）满足曲线L的方程，即F = -(Ax + 2Bxoyo +Cy* + 2Dxo + 2Eyo),整理后便得到Axox + B(yox + Xoy) + Cyoy+D(x + xo)+ E(y+ yo)+ F = 0.后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 0 ( )( ) Ax By D x x + + − 0 0 0 + + + − = ( )( ) 0, Bx Cy E y y 0 0 0 0 Ax x B y x x y Cy y + + + ( ) 0 0 + + + + + = D x x E y y F ( ) ( ) 0 . 2 2 0 0 0 0 0 0 F Ax Bx y Cy Dx Ey = − + + + + ( 2 2 2 ), 由此得到所求切线为 利用 ( , ) x y 0 0 满足曲线 L 的方程, 即 整理后便得到
二、空问曲线的切线与法平面先从参数方程表示的曲线开始讨论在第五章83已学过，对于平面曲线x=x(t), y=y(t), α≤t≤β,若 Po(xo,yo)=(x(to),(to)是其上一点，则曲线在点 P。处的切线为y'(to)x-xo-y-yo(x-xo), 或y-yox'(to)x'(to)y'(to)下面讨论空间曲线后页返回前页
前页 后页 返回 二、空间曲线的切线与法平面 x x t y y t t = = ( ), ( ), , 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ), . ( ) ( ) ( ) y t x x y y y y x x x t x t y t − − − = − = 或 先从参数方程表示的曲线开始讨论. 在第五章§3 已学过, 对于平面曲线 0 0 0 0 0 若 P x y x t y t ( , ) ( ( ), ( )) = 是其上一点, 则曲线 在点 P0 处的切线为 下面讨论空间曲线