第2章随机线性系统Kaiman滤波基本方程与21正交，2-1为第次观测量Z的预测误差，也称为新息。“新息”是一个很重要的概念，它表示从第次观测量Z,中减去前-次观测量中所得到的Z的预报值21。4.寻找文，的递推公式根据正交投影的结论4，得X-E[X/Z]=E[X/2-"] +E[Xk*1/Zk1]=F[XA/z-]+E[X6Z]iF[Z-]I--(2.89)考虑到V与Z-1正交，故V与×不相关，于是有F[Z&t-iZT]= F[(Zh- HXkk-))(Z- HX.-I)T]= F[(H)X.k-I + V)(HXAR-I + V)T)(2.90)=HPk.k-IHI+RE[XA-IZI.-I)= E[X.-I(HXkk-1 + V,)T)= Pe.k-1He(2.91)将式（2.84）式（2.86）、式（2.88）、式（2.90)和式（2.91)代入式（2.89)，得X= XA-I +P.&-IHI[HP,k-IH+RJ-I[Z-HDK-IX](2.92)如令K=Pe.k-IHT[HPe.&-IHI+R]!(2.93)则得到滤波的递推公式为X=@-- +[Z-H@X-](2.94)5.滤波误差方差阵递推公式Xk,x-1= X - Xk表-1=中k,1X1 +Fk.k 1We- -@元.k-Ixk-1(2.95)= @e.&-,X.-1 + F&.b-1 Wk-1故得
Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用28Pkk-1= E[X.k-IXlk 1]= E[(@k-XI +Fe.k-IW-I)(@r..-IXk- +P..-W.-1)T]考虑到X-{与W-,不相关，且E[W-IWT-,]=Q1,于是(2.96)PE-1 = @k.k 1Pe-I0T.k-1 + Ik. 1Q&-FT.k-1X= X-X= X-X.- -K[Z-HX.-1]= Xk.-I - K[HX + V - HXx, -1](2.97)- xe.k-I - K[HXe I+ Ve]-[-KH]X.-KV于是P=E[X,XIT]= E[[(I - KH)X&-I- K,VJ[(I - KH)X-1- K,V,JT]=[I-KHP.-I-KH+KRT(2.98)从上面的推导过程可以看出，用投影法推得的Kalman滤波方程与直观推导法所得结果是完全一致的例2.1i设有随机线性定常系统X=@Xt-1+Wk-1Z = X+ Ve式中状态变量X，与观测Z均为标量，Φ为常数。1W！和！V为零均值自噪声序列，方差分别为Q和R，且/W,I和IVI及X。二者互不相关，试求X，的递推方程。解：根据式（2.62)，可得如下递推关系式X,k-1 = @X-1(2.99)X= X1+K[-X-1] =[I-K@]X-1+KZk(2.100)Pkk-1K = Pe.k-i[Ph在-I +R]-!(2.101)Pek-T+RPe..-1 = @Pe-1 + Q(2.102)
29.第2章随机线性系统Kalman滤波基本方程Pk,k-1(2.103)P=[1- K]Pk,t-1 --Pe.a-I+ RJPe.k-I = RKe观察以各式，由式（2.100)知，K，实际上决定了对观测值2，和上一步的估计值X，利用的比例程度。若K，增加，则Z的利用权重增加，而文-的利用权重相对降低；由式（2.101)和式（2.102)可知，K，由观测噪声方差和上步估计的误差方差决定。假设Q一定，若观测精度很差，即R很大，则K，很小，结果是对Z,的利用权重减小，而对x-的利用权重相对增加。若X-1的精度很差，即P很大，而观测精度很高，即R很小，则K，变大，确定X，时对Z.的利用权重增加，而对x-,的利用权重相对降低。由此可见，Kalman滤波能定量识别各种信息的质量，自动确定对这些信息的利用程度。例2.2α-β滤波。、设运动体沿某-一直线运动，时刻的位移、速度、加速度和加加速度分别为$，W，，j，只对运动体的位置做观测，观测值为Zk=%+Ve若F[] = 0, F[jT]= qoE[V]=0, E[V,VT]=rou观测的采样周期为T，求对，，a的估计。解：出于[S& = S-I + Ur-I T + C , T?2=U+-Tat = ak1 + -T其中为加加速度，对运动体的跟踪者米说，加加速度是随机量，此处取为白噪声。取状态向量SX=UkLak-则状态方程为X = @X-1 + Fi-1式中
Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用30T10712T01LO0观测方程为Z=s+V=HX+V式中H,=[1 0 0],可见，这是随机线性定常系统的滤波问题。应用Kalman基本滤波方程式(2.62),有X=@X-1 +K[Z-HOX-1](2.104)Pk,-I = dPk-I@T + qFTT(2.105)P=I -KHIPk-1(2.106)K= PHTr-1(2.107)当滤波达到稳态时，P=P为定值，由式（2.106）、式(2.107)和式(2.105)，得P=[I-PHTr-IH[QP@TFgFTT](2.108)为关于P的矩阵代数方程，可以从中解出P。假设解得P为[PPizPi3P=P21P22P23LP31P'32P33代人式（2.107），得P[PnP12P131FαP21FP21P22K = PHTr-1P23B0LP31.0P32P'33YP31[αX=@X-1+K[Z-HOX-]=@X-I+B[Z-HOX-]Y此即为sk，e，a的估计sk，ok，ak。在该例中，被估计信息为，U，α，相应的稳态增益为α，β，，习惯上称此种滤波为α-β滤波
第2章随机线性系统Kaiman滤波基本方程:31:2.3随机线性连续系统Kalman滤波基本方程采用递推算法是离散Kalman波的最大优点，由于其递推性，算法可以由计算机执行，不必存储大量观测数据，因此，离散Kalman滤波在「程上得到了广泛的应用。尽管许多实际的物理系统是连续系统，但只要进行离散化，就可以使用离散Kalrman滤波方程。连续Kalman滤波是根据连续时间过程中的观测值，采用求解矩阵微分方程的方法估计系统状态变量的时间连续值。连续Kalman滤波是最优估计理论的部分，因此在此给出连续性Kalman滤波算法，以保持理论的完整性。在推导连续系统Kalman滤波基本方程时，先不考虑控制信号的作用，这样系统的状态方程为X(t) = A(t)X(t) + F(t)W(t)(2.109a)式中，X（t）是系统的n维状态向量，W（t）是b维零均值白噪声向量，A（t）是"×"维系统矩阵，F（t)是"×b维下扰输人矩阵。观测方程为Z(t) = H(t)X(t) + V(t)(2.109b)式中,z(t)是m维观测向量,H(t)是mXn维观测矩阵，V(t)是m维零均值的白噪声向鼠。W(t）和V(t）互相独立，它们的协方差阵分别为E[W(t)WT() I = Q(t)o(t -T)E[V(t)Vr(t)l = R(t)8(t -t)(2.110)E[W(t)VT(t)) = 0式中，（-)是狄拉克(UDirac）函数，Q（）为非负定对称阵，R（t)为对称正定矩阵，Q(t)和R（t)都对t连续。X(t)的初始状态X(to)是一个随机变量，假定X(t）的统计特性如数学期望Eix（to）)=mo和方差矩阵P（to）=F[[X（tn）mol[X（tu）-moT都为知，从时间t=to开始得到观测值（t），在区间to≤g≤t内已给出观测值Z（。），要求找出X（t）的最优线性估计，使得：（1）估计值×（11，t）足z(a）(to≤g≤）的线性函数（2）估值是无偏的,即[X(t1，t)]=E[X(t)]。(3）要求估计误差X(t，t)=X（t）一X（t),t)的方差为最小,即要求