f(x)=f1(x) f1(x,x2,) 经 +x2 则雅可比矩阵为 af af, af, ax, ax2 85 dr af2 af2 dx, a 四、總量场函数的复合微分法则 纯量场函数的复合微分法则可分以下六种情况来讨论: (1)情况 若f=f( xn)=f(x),x=[笔1,x,…,x 则 df ar, d*+d af da2 t ax af af [dx,dx2,…,dx af (dr)v,f (Vf)'dx (2)情况2 若f=fx(a) …数++…+,当 (2-5) (3)情况3 若∮=∫[x(a,a,…,a),x(a1,a2,…,a)…,x(a,a,…,()] m+改 +改题+…+高 (2-6) (4)情况4 若∫=∫x(x),(x),…,x:(x,x] DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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(2-7) cr- (5)情况5 若f=f[x1(+,x+…,x),x2(x++,…,x) x2(xk+,x+3,…,x,),x+1,x-#…,x] 则 十…+ axe ax, k+1C以k+! +…十 十 中,甲香,,,,..,F由·甲韦4非d,甲 f af we af (6)情况6 若f=fx:(xx+,x+2,…,其),x1(x1,x+,…,x),,x-1(x2+2…,x), x(x1),xk+1,x》+2,…,x] 则 f=叶fax+ k+1 +…+ h+2 ·· 1…十 + 十……十 f ax ax ax, ax 第二节有关微分方程的知识 一、李普希茨( Lipsch)条件及微分方程解的存在与唯一性问彌 众所周知,大部分动态系统的数学模型是所谓的微分模型,即微分方程。所以,有必要 对微分方程解的存在与唯一性的有关问题有些基本了解。为此,首要的便是所谓的李普希茨 条件问题。为了讲解的方便又不失一般性,现以一阶微分方程的初值问题 立=f(t,x) x(o)=xo 作为研究的对象。 为了保证方程式(210)有解且唯一,要求满足什么条件?仅仅保证右端f(t,x)对x的 连续性够吗?为了回答这个问题,先看一个例子。 例23试求初值问题 E=2v x(1)=0 的解。 10 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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解由该方程可见,x=0显然是一个解。再找它的其它解。为此,将原方程分离变 量,得 F dt 积分之,有 式中c——-待定常数。 代入初始条件,得 于是,要求的解为 x=(t-) 显然,这是一个顶点右移到(x,t}平而上(1,0)点的抛物线方程。由于原题仅研究 √x的正值,所以忿>0。因此,所得的解是上述抛 物线的右半分支,如图21所示。 由这个例子可见,尽管原方程的右端2√x在 x≥0的一切区城中定义并连续,在(x,)乎面上 的(1,0)点处却同时通过了该方程的两个解曲线 x=0及x=(f-1)2,也即,点(1,0)是该微分 方程的非唯一性的解点。因此可见,仅仅保证微分方 程式(2-1)右端f(t,x)对x的连续性,还不足以保 图2-1 证它的解的唯一性。于是,提出了李普希茨条件的问题。 定义23李普希茨条作如果在某闭域G上,微分方程 =∫(f,x) 的右端f(t,x)满足以下条件 lf(t,x)一f(;,x)≤Lx1一|, v(,x),(t,x2)∈G 式中L—一常数,称为李普希茨常数。 则称函数∫(t,x)在该闭域上对满足李普希茨条件。 应当指出,对函数f(,x)而言,它对x的李普希茨条件比它对连续的条件远为更强。 函数f(,z)满足对x的连续性条件,并不意味着它满足对x的李普希获条件;反之,若函 数f(t,x)满足对x的李普希茨条件,则必满足它对x的连续性条件。 定理2-1如果函数f(t,x)在竣G中对扌逢续,且对变量x满足李普希茨条件,则它 必对f,x同时连续。 由于本书篇幅的限制,本定理证明从略,有兴趣的读者可参看文献[1l3] 现在来看一个例子。 例24试证明例23中的微分方程=2的右端函数f(,x)=2√x不满足对x 的李普希茨条件。 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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证明如果∫(,x)满足李普希茨条件,应有不等式 l∫(t,x:)-f(t,x)≤L|x1-x2 也即 f(,x)-f(+,x2) *1-xaI ≤L 这意味着在整个定义域x>0中,(x)=应是有限的。然而,由于x→0时, af(t 因而这是不可能的。所以f(t,x)不满足李普希茨条件。也正因此,由后述 的微分方程解的存在与唯一性定理可知,尽管右端f(,x)对x连,却并不能保证微分方 程的解的唯一性。 现在,我们转而研究初值问题云=f(t,x),x(t)=x的解的存在与唯一性定理。 定理22初值问题解的存在与唯一性定理如果在某闭域上定义的函数∫(,x)对 连续,且对x满足李普希茨条件,则在扌轴上必有一个包含在内的区间团,在其中,存在 个满足微分方程=f(,x)及初始条件x(t)=x的唯一解x=x() 证明因篇幅关系,从略。请参看[13]。 这里,重要的是指出以下各点 (1)如果在某闭域G中,上述微分方程的右端函数f(t,x)对x具有有限的偏导数,即 af/ax|≤N,其中,N为某个常数,则在整个G域中李普希茨条件必可得到满足。事实上, 由于在G中任意两点(t,x1),(,x2)处,函数∫的差值的模 lf(,x1)-f(t,x)}=(,2)(x-x ≤N]x1-x2 式中z—满足x≤云的某x值。 所以,只要取李普希茨常数L=N,上述论断就证明了 (2)实际上,满足李普希茨条件的函敷∫(t,x)比上述的还要宽广。例如,微分方程 2=|x 的右端函数f(,x)=|x|在x=0处不存在偏导数 af(t12,然而,如果看仁下模值情况 If(t,x)-f(,x2|=|1x-|1≤|x1-21 显然,如取李普希茨常数L=1,f(t,x)就满足对x的李普希茨条件了。 (3)尽管满足李普希茨条件的函数∫(x)相对讲比较宽广,实用上,为了方便,常把 满足初值问题去=f(,x),x(+)的解的存在与唯一性定理的条件取得更窄些。常见的 初值问题的存在与唯一性定表述如下。 定23初值问题解的存在与唯性定理的另一种表达如果在包括初始点(t,x) 在内的某直角域a<<日,"<x<中,函数f()称(t,2)连缤,则在< β中的某域t-k<扌<t+h里,必有一个满足初值问题=∫(,2),*(t)=x的唯一解 存在。 证明从略。可参看文献[14],[7]9 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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二、初值问题的解与参数间的连缤关系 )问题的提出 以例23为例,我们要解的问题是初值问题 =2√x x(1)=0 的解。这个问题可看成是初值问题 =a√/x x(o)=x 的一个特例,也即,它是取a=2,t=1,x=0时的一种特殊情况。由于不论a或x都 是由一些实际问题经测量或计算后求得的,所以它们是上述徽分方程初值问题中的参数,且 常为近似值。由此,进一步抽象之,初值问题应是求解以下方程 卖=f(,x,) x()=xo 式中g一参数 x一参数。 既然初值问题中包含了参数μ与x,所以研究初值问题与参数间的关系问题就提出来 (二)参数的分类 为了研究初值问题与参数闻的关系,或者换言之,为了研究参数的变化对初值问题解的 影响,首先应把初值问题中可能遘到的各种参数进行分类。1953年,K,S,Mie和F.J Mura对连续系统的参数提出了一种分类法。参照这种分类法,以下对各种参数进行分类 [6 定义2-4a参数凡参数值的变异不会导致微分方程的阶次发生变化的一类参数称为 参数 显然,按照这个定义,作为微分方程最高阶导数项的a参数的额定值不等于零。 定义25参数如把澈分方程的初始值作为一类参数,称它为B参数。 定义26参数凡颔定值为零,且参数的变异会影响徽分方程阶次变化的一类参数 称为具参数。 例25设有微分方程 029+a,3+ay=u() y(0)=y3,0)=y9 式中q,4;,a2-微分方程的参数 (t)已知的时间函数。 试判定其中备参数的类别。 解把题给微分方程看成为额定方程。假如参数有所变异,相应的微分方程成为 小y+(a2+d)+(a1+a1)+(+Ja)y=(t) (0)=dy,0)=y+4y9,y(0)≈y8+4y8 13 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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