(4)前已述及,通常作为系统设计计算依据的是经过简化而得到的一阶方程式(1-4), 而不是最原始的精确方程式(1-3)。在数学上,这等效于把作为数学模型的徽分方程式(1-3) 中的最高阶次项的系数由非零值取为零。这种为了计算简化而选用低阶近似方程作为设计计 算依拥的做法,导致了原系统数学模型的降阶。显然,这样做所得的计算结果与用精确模型 计算所得的结果是有所不同的。然而这是为了计算简便而作出的一种牺牲,对系统建模工作 十分有利(参看文献[4],[5])。从灵敏度理论的观点看,这是故意人为地改变参数,从而 导致了系统性能的变化。所以,这是一个灵敏度问题。在灵敏度理论中,称这种参数灵敏度 情况为λ参数灵敏度问题。显然,凡涉及λ参数灵敏度的问题都会因造成原数学模型的降阶 币发生系统结构改变的现象(见文献L6])。 (5)在研究具体的拖动控制系绕的方案时,一个很自然的问题是;我们应该选用开环控 制还是闭环控制方案?通常情况下,回答总是:选闭环反馈控制方案!为了更全面地考虑与 权衡利弊,我们不妨问一下:从灵敏度理论的观点看,是否闭环控制总比开环控制较为优 越?显然,这也是一个系统灵敏度范畴的问题。 6)假如把外于扰信号数学模型中的各种参数看成是系统的外介质参数,那么研究系统 抗干扰作用的能力河题也成了一个参数灵敏度问题。换一种说法,这种灵敏度问题也可叫做 系统对环境改变的灵敏度问题(见文献[781)。 (7)不论从式(1-3)或式(1-4),我们都可看到,影响被控对象的参数常有很多。为了有 效地设计计算和调试系统,一个重要且自然的问题是:在如此众多的参数中,哪些对系统的 影响最大?哪些由于影响不大而可忽略不计?显然,这种抓主要矛盾型的问题也是系统灵敏 度理论应该研究的问题。 (8)假如我们按最优控制理论设计一个枢控电机的最优拖动控制系统,在被控对象的参 数有摄动的情况下,设计所得的最优性还保得住吗?换句话说,我们很想知道参数摄动对最 优控制系统的性能会有什么影响。这当然又是一个参数灵敏度方面的重要问题。 综上所述不难推想,在现实的科学技术问题中,存在着大量的灵敏度间题。从工程控制 论的观点看,这都是由于系统本身的参数摄动及作用于系统上的外于扰信号的不确定性引起 的。随着科学技术的发展,人们对这种不确定性因素的影响必然会给予更多的关注,这也就 是人们对自适应技术及灵敏度与稳健性理论日益重视的原因。 第二节进一步的说明 在上一节所述内容的基础上,作为绪论,现在我们拟对系统灵敏度及有关的问题进一步 作些说明。 、关子干扰作用与氯动 众所周知,任何控制系统都是由被控对象及控制器所构成。为了实现对被控对象的高质 量控制,一般釆用闭环反馈控制系统。 若仅以被控对象而论,由于其上作用着各种于扰信号,它的内部参数又可能有所摄动, 不难推知’控制系统的输出量往往难以保持要求的定值或对指令倌号进行精确跟踪。 所谓于扰信号是指影响系统性能且又无法由系统进行控制的外来作用;至于摄动,则是 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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指造成对象的静、动态特性发生暂时的或永矢变异的内在因素。 摄动对系统的影响体现为使被控对象的数学模型编离作为设计依据的额定的教学模型。 所以摄动的存在使系统在同一指令信号及干扰信号作用下发生性能变化。也正是由于这个缘 故,摄动,或更确切地说是参数的摄动,对系统来讲相当于是一种使它的性能发变化的特 殊的输入作用。因此,我们可以说,实际的系 于扰 统可描绘为:在额定的数学模型上同时作用 着指令信号、外干扰信号及等效于参数摄动作 指令 输出 用的某种外作用信号。这种形象的描绘示于图 控制系统的数学模型 1-4。鉴于这种考虑,与信号理论一样,灵敏 度理论以及与之有密切关联的系统稳健性理论 与参数摄动等效的信号 构成了工程控制论中的一个重要分支。 图1-4 、参数摄动的原因及其学模型 是什么原因造成实际的系统对于作为设计依据的额定模型存在着不可避免的参数楼动? 般讲,主要原因有 (1)对任何实际系统,我们总不可能把它辨识得绝对槠确。换言之,用系统辩识理论求 得的系统数学模型只是相对准确的 (2)由于制造有容差,所以任何理论的构思及设计计算都不可能绝对准确地实现 (3)随着时间的推移,任何系统都会发生老化、磨损等性能的改变以乃环境和运行条件 的变化; (4)为了简化设计计算或便于数学处理,工程上常常有意把一些复杂的情况或数学模型 简化或理想化。因而,相对于作为设计依据的这种简化的或理想化的模型来讲,真实系统就 相当于是一种参数摄动的情况了。 通常,表示摄动的数学模型有两种。一种叫结构型不确定性模型,另一种是非结构型不 确定性模型。 当被控对象的模型型式完全确定,但参数值不定时,处理这种参数不确定性的数学模型 便是结构型不确定性模型。前一节提到的a参数及B参数问题就属于这种模型的冋题。 如果被控对象的模型是在不计一些次要因素的假定下建立起来的,这样的模利便叫做非 结构型模型。前述的λ参数灵敏度问题即为此例。 在有了a参数、β参数、λ参数灵敏度定义的基础上,又进一步引出表示多数摄动的两 种不同数学模型,其目的是为了将有关的概念推广于系统稳健性的设计计算。 、系统灵敏度与稳管性的关系 当前,在讨论与处理系统不确定性的问题时,经常见到“灵敏度”与“稳健性”这两个 相互间颇有关联的术语。这里拟对它们作一些说明 在20世纪60年代以前,人们在探讨反馈的好处时,早已意识到反馈的引入可以减弱干 扰及摄动对系统的影响。这时,术语“系统灵敏度”兼指系统的性能对于扰与摄动的敏感程 度。60年代末到70年代初,术语“灵敏度”开始用于专指结构不确定性对系统的影响。70 年代末,出现了术语“稳健牲”,它的主要含义是:系统愈稳健,则其特性受答种摄动影 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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响,特别是受非结构不确定性的影响愈小。由此可见,“灵敏度”与“稳健性”这两个术语 所表达的概念实际上是相辅相成的 由于当前各国术语不统一,对“灵敏度”与“稳健性”含义还有其它两种不同約看法。 第一种看法认为“灵敏度η宜用于处理外干扰对系统的性能影响问题,而“稳健性”则用于 处理摄动的影响问题(参看文献[9])。第二种看法则认为“灵敏度”是指在作为设计计算 依据的额定参数工作点附近有小的参数摄动时,这种小摄动对系统性能的影响;而“稳健 性”则是指参数在上述额定点附近作大范围变动时,系统还能在一个足够大的区域中有能力 保持对它的性能要求(参看文献[10])。 Frank(1985)还用实例论证了以下论点;对于同一 个问题,用灵敏度观点对参数大范围变动所作的计算结果,与用基于稳健性理论所作的相应 计算结果基本上是→致的。 Frank提出的这种看法,用统一的观点来看待灵敏度与稳健性这 两个不尽相同却又相互关联的概念,看来比较可取。 最后应该指出,灵敏度与稳健性理论仅是处理系统不确定性问题的一个方面。处理这个 问题的另一个重要方面是自适应理论。不论从这两个方面的过去与现在看,还是从发展的观 点看,它们的关系和功用都是相辅相成的。 因、觌敏理论的其他研究方面 系统灵敏度理论除了研究减小系统不确定性对系统性能影响的问题外,它的另一个研究 方向则是强化系统对参数摄动的敏感性,以解决控制工程中的一些特殊问题。系统瓣识技术 中的最佳输入问题就是这方面研究成果的典型应用。对这方面有兴趣的读者可参看文献 [11 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第二章有关的基本数学知识 在具体讨论系统灵敏度理论之前,我们先来复习并学习-些后续章节中常要用到的数学 知识。这些知识为:多变量微积分,微分方程解的存在与唯一性,以及微分方程的解与参数 及初始条件的连续关系。其它一些非属基本及用得不很频繁的数学知识如特征值及奇异值 等,将在有关章节中讨论。木章主要参考文献为[12][13[30] 第一节多变量微积分知识 、纯量场和向量场 我们来研究有限维空间中的函数 T;P→R (2-1) 式中 P—n维实空间; P—m维实空间。 若取n=1,m=1,称函数T为实变量的实值函数。 若取n=1,m>1,称函数为实变量的向量值函数。=[y(x),y2(x)T,x∈R, 就是例子。 如果取n>1,m=1,则称函数T为向量变量的实值函数。数学文献中,也常称T为 纯量场。y=y(x)=兴(x,x,…,x),x=[x,x,…,x∈P便是一例。 如果取>1,m>1,则称函数T为向量变量的向量值函数,也常称它为向量场。这 种函数的例子有 c) y,(x, y2(x) y2(x1,x2,…,x) g ∈R y,(r) yn(x, x x=[x1,x2,…,x∈酽 二、約量场的微分运算 定义2-1纯量场对自变量向量的导数若有纯量场 f(x)=f(x,x,…,x 则它对自变量向量x=[x1,x2,…,xn}的导数 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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A 称为函数f(x)对x的梯度。 ∫(x)对x的梯度常表示为:V或 gradf。 为了运算方便,也有人定义梯度为 装e af (2-2) 例2-1若aA[a,a3…,an],xx點…,x,则线性型为 ∫(x)Aa2x=01x1+a22+…d1x 它对x的梯度则为 Va会 dr af/awn 三、向量场的微分运算 定义22向量场对自变量向量的导数若有向量场函数 f1(x) f1(x,…,x r(x)= f2(x) fn(x,…,箕 则f(x)对x的导数由下式定义 ax, a afm afn af ax, ax. 常称上述为向量场(x)对的雅可比矩阵(atr) 例22设有向量场函数 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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