于是按前述备种参数的定义,参数a,a1及a2皆属a参数;8和y为B参数;a3=0 系λ参数。 (三)初值问题的解与参数的连续关系 由微分方程知识知,以下定理保证了初值问题的解与参数的连续性关系。 定理24初值问题的解与参数的连续性定理设有法式微分方程组 ;=f;(,x,x2,…,x),讠=1,2,…,n 其中,函数f(,x,x,…,x在某域G中对台连续且对变量xx…,x满足李普 希茨条件。如果有满足初始条件 (t0)=x 且在t-tl≤h中定义的上述微分方程组的解 r=r(, for 5o) 其中,x=[x,x,…,x],x=[x1,x2,…,x丁2,则对任意给出的e>0,必存在 一个8(e,h)>0,使得满足另一初始条件 c(fo, to, co)=o 且|x-2<6的解 谷=G(t,t,) 同样在|t-t≤h中定义,且满足不等式 lκx(t,tn,x)-础(,t,< 证明从略,请参看文献[13]或[17]。 (四)初值问题的解与a参数间的连续性关系 由微分刀程的理论知,微分方程的解与a参数间也存在着连续性关系。相应的定理如 下,证明从略,可参看文献[13]或[17] 定理25初值问题的解对a参数的连续性定理设有微分方程组 d=f;(,x,,…“,x,,H…,A, 其中,脚[H,P2,…,H]为实a参数,x[x,x,…,x。若函数∫(,x)在 n+S+1维的某域G中对变量f,x,x2,…,x,1,H,…,定义且连续,同时,它 对x,x…,满足李普希茨条件。 如果当a参数值M且满足构始条件x(n,p)=x时,上述方程组的解为x=x(, P),且定义在区间|t-t≤h中;而当=且满足初始条件x(t,")=x2时的解为x= x(t,μ),则对任意的e>0,必存在8(,h)>0,使得脚“"|<8时,解x(t,μ 也在区间扌-t≤h中定义,且满足不等式 lx(t,凹)-x(t,)|<8 应当指出,初值问题的解与a及参数的连续性关系具有重要的论价值。这是因为它 提供了论据,证明尽管控制系统中真实物理过程的参数总有误差,只要这些误差不大,作为 它们的数学模型的初值问题的解总能足够准确地描述其中发生的真实过租。此外,它们还为 应用a及参数灵敏度函数来分析系统的灵敏度问题提供了理论依据。 14 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第三章系统灵敏度问题的基本考虑 本拿介绍关于处理灵敏度问题的一些基本考虑。首先结合有关系统方面的知识介绍系统 参数的概念,然后论述引用灵敏度函数的概念处理系统灵敏度问题的缘由,并介绍常用的各 种一阶灵敏度函数的表达式。 有关本章的内容,可参看文献L6]及7]。 第一节有关系统方面的知识 为了后续章节讨论的需要,先介绍一些有关系统方面的知识。 、系統的筇构 控制系统常用图3-1所示的方块图表示。 图中,“(t)是系统的输入量,y()是输出量。这两个量之间的功能关系可足够准确地用 某种特定的函数关系来描述,这就是系统的数学模型。常见的系统数学模型是微分方程组, 差分方程组或两者兼而有之的方程组。 系统数学模型的特点常系统的结构来表 征。以下备项皆是系统结构的内容 y (1)系统方程的线性及非线性情况 (2)方程的阶次与个数 图3-1 (3)系统传递函数阵中各元素的类别 4)系缆有理传递函数阵各元素的分子和分母多项式的阶次; 等等。 系统的结构定性地确定了系统的性能。 二、系统的参数 用以定量地确定系统性能的量叫做系统的参数。典型的系统参数有: (1)微分或差分方程的系数; (2)方程的初始条件; (3)时间延迟; (4)自然频率及脉冲频率; (5)采样周期与采样时刻; (6)脉冲宽度与輻度 等等。 15 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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三、引起系练性能改变的各种因素 指令信号,外干扰信号,系统参数的摄动或大范围的变化,都是引起性能改变的重要因 素。通常情况下,仅研究指令或外干扰信号对系统性能的影响情况。 仅当考虑系统参数的变化对系统性能的影响时,才把参数的摄动或较大范围的变化作为 种特殊的系统输入量看待。 四、系統的夏敏度 系统的动态性能受参数变异影响的属性称为系统的灵敏度。有人把系统承受外千扰作用 的能力也看作是一种系统的灵敏度属性,见文献[8],[9。一般文献中的系统灵敏度都是 指前者,即指系统的参数灵敏度 系统的参数灵敏度可定义如下 定义3-1系统的参数灵敏度系统的参数灵敏度是系统的参数变化对系统动态性能的 影响,也即,参数变化对诸如系统的时间响应,状态向量,传递函数,或其它表征系统动态 性能的量的影响。 五、系统的参数摄动或变化及其产生的原因 从物理上看,系统参数摄动或变化可分成两大类: (1)定常的及慢变的参数摄动或偏差 (2)时变的参数变化。 造成第一类参数改变的原因有如实现系统时的制造误差,辨识时的测量误差,建模误差 及老化,慢性磨损与腐蚀等原因造成的误差等。 快速的老化、腐蚀磨损及耗损等原因造成的误差由于温度,湿度,重力等环境改变所 致的误差;负载改变,非线性的影响等运行条件改变所引起的误差等等,都是产生第二类参 数变化的重要原因。 最后,还应顺便指出,尽管系统的数学模型常按物理机理求得,真正作系统分析与计算 时,却常把它们化为一些典型的环节或型式来处理。这祥做的结果,为系统灵敏度分析带来 了诸如灵敏度转换等一些特殊的问题。 第二节灵敏度函数 求解系结敏度向题的立搜法 现以系统的状态模型为例说明求解系统灵敏问题的直接法。设系统的状态方程为 =∫(x,a,t,即) r(to=r 式中x状态向量 a一感兴趨的参数向量,a=[a1,a2…,a,j M——系统的输入向量 16 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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时间变量; X初始状态值。 在特定的输入向量“()的情况下,我们感兴趣的当然是x与a间的函数关系。因此, 为了表达的简洁,我们将上述方程的解 x=x(,a,4) 中的鳝省去,而筒写成 r=r(a,t) 于是,求解系统参数灵敏度的问题就归结为取各种不同的&值,按上式计算相应的x值,再 进行系统灵敏度的分析与探讨。显然,这是最容易想到的方法,然而,它却很不可取,这是 因为 (1)计算工作量太大; (2)计算所得的结果不直观,很难得到有关系统灵敏度的简单明了的结论 3)如果参数的变化很小,即如果参数由原来的额定值a变为a+4,且l!《 a|,则用模拟计算机或数字计算机计算时,由于近似计算或机器本身所造成的计算误差, 会使参数灵敏度的计算结果很不准确。 二、高阶灵敏度雨歌法 日前工程计算中比较盛行的系统灵教度计算法是灵敏度函数法。为了一般性的讨论,设 以变量=[y,y,…表示描述系统动态性能的量,系统的参数则用向量=[a1;a2,…, a卫表示。与a的关系假设如下 y(t,a)=y(,a,a2,…,a),i=1,2,…n 若在参数的额定值a时,g的额定值为,则当参数变为 a4=a,+!a4, (3-2) 时,相应的系统变量成为 y=y(,a+,+如2,…,,+4a) y,t, a0 + 4a), (3-3) 于是,由于参数的变化造成的系统误差为 =y(t,a+40)-y4(t,a),i=1,2,…,n(3-4) 假设在a的额定值处,y对诸q,j=1,…r,存在k阶偏导数,于是,由多变量 函数的微分法则,可得y的阶微分表达式 y,i=1,2,…,"(3-5) 应用泰勒公式,有 dy(,)=y4(,a)-y4(,) =y4(t,a+a)-4(t,%) dy,(t, w,)+d(, ao)++dy,(t, 40) (n+1)! y4(,+94),i=1,2, DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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式中,末项为余项。 如果在上式中取k项而不计余项,可得 y、(,a)小y,(,a)=∑d0y,(,a) 由此可见,如果能够求得在参数的额定值处的各阶导数 By a120a2…c2aF 1,2,…,n (3-7) 兩1+k2+…+k+=k,k=1,2,… 参数变化所造成的系统变量误差也就可以按所要求的计算精度求得了。因此,式(3-7)所表 示的各阶导数可用于计算系究的参数灵敏度。以下,对这些量作出定义。 定义32系统变量对参数的k阶灵敏度函数系统变量y;(,a),i=1,2,…,对参数 向量a=[a1,a2…,a,]各元的偏导数 oy, t, a) 的+k2+…十,=k (3-8) 称为函数y4对参数a的k阶灵敏度函数。 定义32中,如取k=1,所得的一阶偏导数称为一阶灵敏度函数或简称灵敏度函数。 总之,阶灵敏度函数法归结为求系统变量y(,a,i=1,,“,n对参数a的1至k阶 的各阶灵敏度函数,然后便可按下式求得系统变量由于参数变化所造成的误差 dy4(t,a)=y4(t,+a)-y(t,6) ∑;,d";(,a) iI\ aa, d1+024+…+4ay(ta) aa 1,2,…,n (3-9) 与前述的直接法相比,高阶灵敏度函数法显得十分优越。这是因为,一则,它把问题归 结为求得若千个高阶灵敏度函数,所以计算工作量大为减少,二则它可视需要,把 dy4(t,a),i=1,2,…,n求到要求的精度。 三、一阶灵敏度函数法 由于求得高阶灵敏度函数仍是一件十分麻烦的工作,所以,基于一阶灵敏度函数的近似 计算法最为实用。由以下的论证可见,这种算法有许多好处 )一阶灵敏度函数法的特点 用一阶灵敏度函数求系统变量的误差时,计算公式为 4y,(+, a)=y(t, 0+44)-y(t, a,) ≈dy(t,a) (盈 y(# ay,(t, a ay( t, a ca da DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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