(1)若级数∑n收敛,则级数∑也收敛; (2)若级数∑un发散,则级数∑vn也发散 例9讨论p-级数 1=1+、1、+n(p>0) n-i n P P 的敛散性 解当p≤1时,≥,因为∑发散,所以由 比较判别法知,p≤1时,∑发散 n=11 冈凶
（1）若级数 n=1 n v 收 敛,则级数 n=1 n u 也收敛; （2）若级数 n=1 n u 发散，则级数 n=1 n v 也发散. 例 9 讨 论 p −级 数 ( 0) 1 3 1 2 1 1 1 1 = + + + + + = p n n p p p n p 的敛散性. 解 当 p≤1 时， p n 1 ≥ n 1，因为 =1 1 n n 发散，所以由 比较判别法知， p≤1 时 ， =1 1 n p n 发 散
当p>1时,顺次把p-级数的第1项,第2项到第3 项,4到7项,8到15项,… 括在一起,得 1+(-+-)+(-+-+-+-)+(+ 45678 它的各项显然小于级数 1+( P 1+ 对应的各项,而所得级数是等比级数,其公比为 q=2<1故收敛,于是当P>1时级数∑,收敛 =1 冈凶
当 p 1时,顺次把 p −级数的第 1 项,第 2 项到第 3 项, 4 到 7 项, 8 到 1 5 项, … … 括在一起,得 + + + + + + + ++ ) + 1 5 1 8 1 ) ( 7 1 6 1 5 1 4 1 ) ( 3 1 2 1 1 ( p p p p p p p p ， 它的各项显然小于级数 = + + + + + + + + + + + + + − − − 3 1 2 1 1 ) 2 1 ) ( 2 1 ( 2 1 1 ) 8 1 8 1 ) ( 4 1 4 1 ) ( 2 1 2 1 1 ( p p p p p p p p p 对应的各项,而所得级数是等比级数,其公比为 1, 2 1 1 = p− q 故收敛,于是当 p 1时,级 数 =1 1 n p n 收 敛
例10判定级数1+1+ 的敛 2.53·6 (n+1)(n+4) 散性 解因为级数的一般项 满足 (n+1)(n+4 0< (n+1)(n+4) 而级数∑是p=2的p-级数,它是收敛的,所以原 n=1 级数也是收敛的 冈凶
例 1 0 判定级数 + + + + + + ( 1) ( 4) 1 3 6 1 2 5 1 n n 的 敛 散 性. 解 因为级数的一般项 ( 1)( 4) 1 + + = n n un 满 足 而级数 =1 2 1 n n 是 p = 2的 p −级数，它是收敛的，所以原 级数也是收敛的. 2 1 ( 1)( 4) 1 0 n n n + +
定理3(达朗贝尔比值判别法)设∑1是一个正 项级数,并且im-+=q,则 n→)00 1)当q<1时,级数收敛 (2)当q>1时,级数发散 (3)当q=1时级数可能收敛,也可能发散 例11判别下列级数的敛散性: (1) n=i(n- n+1 n 解Im li n+1 n+ 冈凶
（1） 当 q <1 时，级数收敛； （2） 当 q >1 时，级数发散； （3） 当 q = 1 时级数可能收敛，也可能发散. 例 11 判别下列级数的敛散性： （1） =1 2 2 3 n n n n ; （2） =1 ( −1)! 1 n n 设 n=1 un 是一个正 项级数，并且 q u u n n n = + → 1 lim ，则 定理3 (达朗贝尔比值判别法) 1 2 1 2 1 3 2 lim lim ( 1) 2 3 n n n n n n n n u n u n + + → → + = + 解
3n n→>2(n+)3≈1im lim n→)0 所以级数∑3发散 (2) 解im lim (n-1) lim-=0<1. n→) n→ n-7o n 所以级数∑收敛 冈凶
1, 2 3 1 1 1 2 3 lim 2( 1) 3 lim 2 2 2 = + = + = → → n n n n n 所以级数 =1 2 2 3 n n n n 发 散. 解 1 ( 1)! 1 lim lim lim 0 1. ! n n n n n u n u n n + → → → − = = = 所以级数 =1 ( −1)! 1 n n 收敛. （2） =1 ( −1)! 1 n n