例7证明:调和级数∑虽有im=0,但是 它是发散的. 证我们利用定积分的几何意义加以证明 调和级数部分和S=∑,如图所示考察曲线 y=-,x=1,x=n+1和y=0所 围成的曲边梯形的面积 与阴影表示的阶梯形面积A1/2 之间的关系, 1234nn+1x 冈凶
例 7 证明：调和级数 =1 1 n n 虽有 0 1 lim = n→ n ，但是 它是发散的. 证 我们利用定积分的几何意义加以证明. 调和级数部分和 = = n k n k S 1 1 ，如图所示.考察曲线 , 1, 1 1 = x = x = n + x y 和 y = 0所 围成的曲边梯形的面积 S 与阴影表示的阶梯形面积 An 之间的关系， O 1/2 y 1 1 2 3 4 n n+1 x
可以看到阴影部分的第一个矩形面积A1=1,第二个矩 形面积A2=1/2,第三个矩形面积A3=1/3, 第 个矩形面积An=1/mn,所以阴影部分的总面积为 4=∑4=1+12+1/3+…+1mn=∑, 它显然大于曲边梯形的面积S,即有 A=∑A dx=Inx n+1 n+ 而lim(n+1)=∞,表明An的极限不存在,所以该级数 n→)00 发散 冈凶
可以看到阴影部分的第一个矩形面积 A1 =1，第二个矩 形面积A2 =1 2，第三个矩形面积A3 =1 3，……，第 n 个矩形面积 1 A n n = ，所以阴影部分的总面积为 = = = = + + + + = n k n k n n k A A n 1 1 1 1 1 2 1 3 1 ， 它显然大于曲边梯形的面积 S ，即有 ln ln( 1) 1 1 1 1 1 1 = = = + + + = dx x n x A A n n n k n k ， 而 + = → lim(n 1) n ，表明An 的极限不存在，所以该级数 发散
二、正项级数及其敛散性 正项级数:若un≥0,则级数∑n称为正项级数 定理1正项级数∑un收敛的充分必要条件是它 的部分和数列有界 证对于正项级数∑n,由于tn≥0, 因而 n+1 所以正项级数∑un收敛的充分必要条件是,它的部分和 冈凶
正项级数：若un≥0，则级数 n=1 un称为正项级数. 定 理 1 正项级数 n=1 un 收敛的充分必要条件是它 的部分和数列有界. 证 对于正项级数 n=1 n u ，由于 n u ≥0， 因 而 Sn+1 = Sn + un+1≥Sn ， 所以正项级数 n=1 un收敛的充分必要条件是，它的部分和 二、 正项级数及其敛散性
数列{Sn}有界,显然lmS,存在,从而级数∑n收敛; 若{S}无界,则imSn=+0,从而级数∑n发散 例8证明正项级数∑示=1+1+2 是收敛的 证因为 (n=2,3,4,…) n!1.2·3 于是对于任意的n,有 冈凶
数列{Sn }有界，显然 n n S → lim 存在，从而级数 n=1 un收敛； 若{Sn }无界，则 = + → n n limS ，从而级数 n=1 un发 散. 例 8 证明正项级数 = = + + + + 0 ! 1 2! 1 1! 1 1 ! 1 n n n ＋ 是收敛的. 证 因 为 n n = 1 2 3 1 ! 1 ≤ ( 2,3,4, ) 2 1 1 2 2 2 1 1 = = − n n ， 于是对于任意的 n，有
n 即正项级数的部分和数列有界,故级数∑收敛 定理2(比较判别法)设∑和∑”是两个 正项级数,且≤vn, 冈凶
3. 2 1 3 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( 1)! 1 2! 1 1! 1 1 2 1 2 2 = − − − = + + + + + + − = + + + + − − − n n n n n S 即正项级数的部分和数列有界，故级数 =0 ! 1 n n 收 敛. 定理 2 （比较判别法） 设 n=1 un和 n=1 n v 是两个 正项级数，且 un≤ n v