又,由曲线积分公式, Pdx ∑JPdx=J Pdx+ Pd b [x, y,(x)]dx+P[, 22(x))dx (P[x,J(x)]-P[,y(x)Jdx=-[J aP d D 即 ∫Pdx=-∫ aP aD y
又，由曲线积分公式， [ ] [ ] { } [ ] [ ] 1 3 4 1 1 2 1 2 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , D Li L L i b a a b b a D Pdx P dx Pdx P dx P x y x dx P x y x dx P P x y x P x y x dx d y σ + ∂ = = = + = + ∂ = − = − ∂ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 即 , D D P Pdx d y σ + ∂ ∂ = − ∂ ∫ ∫ ∫
平行地,当D是Y型区域时,有 ∫Q=-』」 00 d aD+ OX (2)若D是单连通区域,并且为有限个X型、Y型区域之 和,则可用若干线段将区域D分割成有限个X型、Y型 区域之和。如图所示, D=D,UD2UDS 并且在每个D上,均有 D
平行地，当D是Y型区域时，有 . D D Q Qdy d x σ + ∂ ∂ = − ∂ ∫ ∫∫ (2)若D是单连通区域，并且为有限个X型、Y型区域之 和，则可用若干线段将区域D分割成有限个X型、Y型 区域之和。如图所示， D1 D2 D3 D D= 1 2 ∪ ∪ D D3 并且在每个Di上，均有
oo aP cy=中P(xy)x+(x,y)y D 又 dc=∑ dxdy 又注意到,在添加的辅助线段上,经过一个来回后,积 分相互抵消,故 ∮Px)+Q(xy)=∑∮P(xy)+xy
( , ) ( , ) i i D D Q P dxdy P x y dx Q x y dy x y + ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ − = + ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫∫ v∫ 又， 3 1 i D D i Q P Q P dxdy dxdy x y = x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫∫ ∑∫∫ 又注意到，在添加的辅助线段上，经过一个来回后，积 分相互抵消，故 3 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , i i D D P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy + + = ∂ ∂ + =∑ + v v ∫ ∫