概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理85.2中心极限定理第20讲85.2中心极限定理授课题目教学目的了解林德伯格定理一列维中心极限定理，棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理教学重点林德伯格定理一列维中心极限定理，棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理教学难点林德伯格定理一列维中心极限定理，棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理教学过程备注中复习引入1之X，的渐进性质：17plZx,TEX大数定律讨论的是多个随机变量的平均nnni=l切比雪夫大数定律1）（X,)两两不相关2）DX,≤c.注：不要求同分布辛钦大数定律1）（X是独立同分布2）EX,=存在注：不要求方差存在n重伯努利试验伯努利大数定律本节讨论独立随机变量的和X，的极限分布一-中心极限定理i=l中心极限定理的客观背景：一个随机变量X是由大量相互独立的随机因素XX...X....的综合影响所形成，即X=X，+X，+··+X+·…，而每一个因素在总的影响中所起的作用很微小，这种随机变量X往往近似地服从正态分布中知帆框标-n1ellimP2 dt = @(x)林德伯格-列维中心极限定理VngV2元2X-np棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理2 dt = Φ(x)limP-<x/2元n→oynpq*讲投新课中心极限定理一一论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理棣莫弗在十八世纪首先提出中心极限定理，是十八至十九世纪整整二百年间概率论研究的中心问题，因而称为中心极限定理，其内容十分丰富.这里只讨论其中比较特殊的情形：独立同分布的随机变量的和X，的极限分布。i=l定理1（林德伯格-列维中心极限定理）设X,X,，,X,，…为独立同分布的随机变量序列,且EX,=μ，DX,=α2>0（i=1,2,）.则对任意实数xER，有4X-nμ71i=llimP2dt=@(x)≤xeV2元n>00Vng林德伯格-列维中心极限定理：随机变量序列(X，独立同分布，且其期望与方差(非零)都-88
概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 88 - §5.2 中心极限定理 授课题目 §5.2 中心极限定理 第 20 讲 教学目的 了解林德伯格定理—列维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 教学重点 林德伯格定理—列维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 教学难点 林德伯格定理—列维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 教 学 过 程 备注 *复习引入 大数定律讨论的是多个随机变量的平均- = n i X i n 1 1 的渐进性质： 1 1 1 1 = = ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 切比雪夫大数定律 1） X n 两两不相关 2） DX c i .注：不要求同分布 辛钦大数定律 1） X n 是独立同分布 2） EXi = 存在注：不要求方差存在 伯努利大数定律 n 重伯努利试验 本节讨论独立随机变量的和 = n i X i 1 的极限分布——中心极限定理 中心极限定理的客观背景：一个随机变量 X 是由大量相互独立的随机因素 X1 , X2 , , Xn , 的综合影 响所形成，即 X = X1 + X2 ++X n+ ，而每一个因素在总的影响中所起的作用很微小，这种随机 变量 X 往往近似地服从正态分布 *知识框架 林德伯格-列维中心极限定理 ( ) 2 1 lim 1 2 2 x e dt x n X n P x t n i i n = = − − − = → 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 ( ) 2 1 lim 2 2 x e dt x npq X np P x t n = = − − − → *讲授新课 中心极限定理——论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理 棣莫弗在十八世纪首先提出中心极限定理,是十八至十九世纪整整二百年间概率论研究的 中心问题,因而称为中心极限定理,其内容十分丰富. 这里只讨论其中比较特殊的情形：独立同分布的随机变量的和 = n i X i 1 的极限分布. 定理 1 (林德伯格-列维中心极限定理) 设 X1 , X2 , , Xn , 为独立同分布的随机变 量序列,且 2 , 0 ( 1, 2, ) EX DX i i i = = = .则对任意实数 x R ,有 ( ) 2 1 lim 1 2 2 x e dt x n X n P x t n i i n = = − − − = → . 林德伯格-列维中心极限定理: 随机变量序列 X n 独立同分布,且其期望与方差(非零)都
概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理存在,之X，总是近似地服从正态分布，记作i=l"X.-nux,~ N(nμ,no")=N(0,1)Vngi=l几个结论：1) X-M:Ex,~N(nμ,ng2) 3) X=XN(u,~N(0. 1)2）an isli=lVn注nX-npX-H，有1.对于=中的每一被加项IngVng(x,-μ11DX, =D→0(n→0)ngnon即每一被加项对总和的影响都很微小，但它们选加的和却以标准正态分布为极限，nX,-nμi=l2.在满足定理的条件下，我们可以利用P≤x=(x)Vng求一些概率的近似值，例1设X(i=1,2,..50）是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为入=0.03的泊50松分布，试用中心极限定理计算P(X,>3)2解μ=g=元=0.03，n=50,nμ=0.03×50=1.5ng=/50x0.03=/1.55050X,>3(=1-PDAX≤3[台[i=](50CX,-1.53-1.53-1.5=1-P/~1-ΦV1.5Vi.5V1.5=1Φ(/1.5)=1-Φ(1.23)=1-0.8907=0.1093例2一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50kg，标准差为5kg：若用最大载重量为5000kg的汽车承运，试用中心极限定理说明每车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.9772？解设X(i=1,2,..50)为装运第i箱的重量，n是所求的箱数．由题意可将Xi,X2",X,看作独立同分布的随机变量序列，n箱货物的总重量为ZX,因为i=lμ=50,=5，由(2-2)式及题中要求得-89-
概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 89 - 存在, 1 n i i X = 总是近似地服从正态分布, 记作 2 1 ~ ( , ) n a i i X N n n = 1 ~ ( 0 , 1) n i a i X n N n = − 几个结论: 1） ~ ( 0 , 1) X N n • − 2） 2 1 ~ ( , ) n i i X N n n • = 3） 2 1 1 ~ ( , ) n i i X X N n n • = = 注 1． 对于 1 n i i X n n = − 中的每一被加项 Xi n − ，有 2 i 1 i X D DX n n − = 1 0 n = → ( ) n → ， 即每一被加项对总和的影响都很微小，但它们迭加的和却以标准正态分布为极限． 2．在满足定理的条件下，我们可以利用 1 ( ) n i i X n P x x n = − 求一些概率的近似值． 例 1 设 i X (i 1,2, 50) = 是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为 = 0.03 的泊 松分布，试用中心极限定理计算 50 1 { >3} i i P X = ． 解 2 = = = = 0.03 , 50 n ， n n = = = = 0.03 50 1.5 , 50 0.03 1.5 50 50 1 1 >3 1 3 i i i i P X P X = = = − 50 1 1.5 3 1.5 3 1.5 1 1 ( ) 1.5 1.5 1.5 i i X P = − − − = − − = − − = − = 1 1.5 1 1.23 1 0.8907 0.1093 ( ) ( ) ． 例 2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50kg，标 准差为 5kg．若用最大载重量为 5000 kg 的汽车承运，试用中心极限定理说明每车最多可装 多少箱，才能保障不超载的概率大于 0．9772？ 解 设 i X (i 1,2, 50) = 为装运第 i 箱的重量， n 是所求的箱数．由题意可将 1 2 , , , X X X n 看作独立同分布的随机变量序列， n 箱货物的总重量为 1 n i i X = ．因为 = = 50, 5 ，由(2-2)式及题中要求得
概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理5000-50nX,≤5000)~ΦPC>0.9772=Φ(2），从而有5/ni=l1000-10nn>2，得n<98.01故最多可以装98箱。Jn定理2（莫弗-拉普拉斯中心极限定理）设X~ B(n,p)(O<p<1),则对任意实数xeR有莫弗-拉1X-nplimP dt = Φ(x)Le普拉斯中<x2元n→00npq心极限定理：二项其中g=1-p,0<g<1分布的极证明因为随机变量X可以表示为n个相互独立的服从B(1,P)分布的随机变量限分布是正态分布.X,(i=1,2,...n)的和，而EX,=p，DX,=pq>0，i=1,2,.",n.故由定理2.1知定理称为“二项2.2成立分布的正态近似”此定理表明，若X～B(n,p），则当n充分大时，有X~N(np，npq)，于是有第二章中的泊松定b-npX-npa-np理给出了X“二项分npqVnpqVnpq布的泊松近似”，两b-npa-npl者相比，当Jnpqnpqn较大，p较例3设电站供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7．假设各灯的开小，关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率，A=np解设夜晚同时开着的灯数为X，则X~B(10000,0.7)，又np=10000×0.7=7000,np(1-p)=/10000×0.7×0.3=/2100,适中时，用泊松分布7200-70006800-7000P/6800≤X≤7200~近似较好：V21002100而当n较~2Φ(4.36)-1=1.大，p不太大时，用例4在人寿保险公司里有3000个同一年龄的人参加人寿保险：在一年里，这些人的正态分布死亡率为0.1%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元，死亡时，家属可以从保近似较好。险公司领取2000元.求保险公司一年中获利不少于10000元的概率中心极限定理揭示了正态分布的普遍性和重要性，它是应用正态分布来解决各种实际问题的理论基础.中筑固建司1.设随机变量序列X.X,....,X..相互独立，X服从参数为n的指数分布（n≥I)则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是（C）11A.Xi.5X25B.X,X....,X.X2nC. X..2'X.....,nnXD. X.,2X.....,nX.....2.已知随机变量序列X,X...*,X..·相互独立，且都在（-1,1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有limPJX≤yn!（等于（C）i=lc. Φ(V3)B. Φ(1)D. Φ(2)A. Φ(O)-90-
概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 90 - 1 5000 50 ( 5000) 5 n i i n P X = n − = 0.9772 (2) ，从而有， 1000 10 2 n n − ，得 n 98.01 故最多可以装 98 箱． 定理 2 (棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理) 设 X ~ B(n , p ) (0 p 1) ,则对任意 实数 x R ,有 ( ) 2 1 lim 2 2 x e dt x npq X np P x t n = = − − − → 其中 q =1− p , 0 q 1. 证明 因为随机变量 X 可以表示为 n 个相互独立的服从 B p (1, ) 分布的随机变量 i X n (i 1,2, ) 的和，而 EXi = p , DXi = pq 0，i =1,2 , , n .故由定理 2.1 知定理 2.2 成立. 此定理表明，若 X ~ B(n , p ) ，则当 n 充分大时，有 X N np npq ( , ) • ，于是有 ( ) ( ) a np X np b np P a X b P npq npq npq b np a np npq npq − − − = − − − 例 3 设电站供电网内有 10000 盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为 0.7 ．假设各灯的开 关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯数在 6800 与 7200 之间的概率． 解 设夜晚同时开着的灯数为 X ， 则 X B(10000, 0.7) ， 又 np = = 10000 0.7 7000， np p (1 ) 10000 0.7 0.3 2100 − = = ， 7200 7000 6800 7000 {6800 7200} ( ) ( ) 2100 2100 P X − − − − = 2 (4.36) 1 1． 例 4 在人寿保险公司里有 3000 个同一年龄的人参加人寿保险．在一年里，这些人的 死亡率为 0.1 %，参加保险的人在一年的头一天交付保险费 10 元，死亡时，家属可以从保 险公司领取 2000 元． 求保险公司一年中获利不少于 10000 元的概率． 中心极限定理揭示了正态分布的普遍性和重要性，它是应用正态分布来解决各种实际问 题的理论基础． 棣莫弗-拉 普拉斯中 心极限定 理: 二项 分布的极 限分布是 正态分布. 称为“二项 分布的正 态近似”. 第二章中 的泊松定 理给出了 “二项分 布的泊松 近似”，两 者相比，当 n 较 大, p 较 小, = np 适中时，用 泊松分布 近似较好； 而当 n 较 大, p 不 太大时，用 正态分布 近似较好. *巩固练习 1．设随机变量序列 1 2 , , , , X X X n 相互独立， X n 服从参数为 n 的指数分布 ( 1) n , 则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是( C ). A. 1 2 1 1 , , , , 2 X X X n n . B. 1 2 , , , , X X X n C. 2 2 1 2 , 2 , , , X X n Xn D. 1 2 , 2 , , , X X nXn 2．已知随机变量序列 1 2 , , , , X X X n 相互独立,且都在 ( 1,1) − 上服从均匀分布,根据独立同分布中心 极限定理有 1 lim n i n i P X n → = 等于( C ). A. (0) B. (1) C. ( 3) D. (2)