自反的Banach空间 定义 设X是赋范线性空间，X是X的对偶空间.称X的对偶空间(X)' 为X的二次对偶空间，记为”. 类似地，我们可以定义X的三次对偶空间"以及更高次的对偶空 间. 对于任给0∈X,定义Y上的有界线性泛函”如下： 60=o), Hf∈X. (1) 泛函分析 November 3,2021 11/32
自反的 Banach 空间 定义 设 X 是赋范线性空间, X′ 是 X 的对偶空间. 称 X′ 的对偶空间 (X′ ) ′ 为 X 的二次对偶空间, 记为 X′′ . 类似地, 我们可以定义 X 的三次对偶空间 X′′′ 以及更高次的对偶空 间. 对于任给 x0 ∈ X, 定义 X′ 上的有界线性泛函 x ′′ 0 如下: x ′′ 0 (f) = f(x0), ∀ f ∈ X ′ . (1) 泛函分析 November 3, 2021 11 / 32
对于任何a,B∈F,fg∈X,我们有 (af+Bg)=(af+Bg)(zo)=af(zo)+Bg(zo)=az(f)+Br(g) 因此，6是XW上的线性泛函，并且对任何f∈有 6(川=lo)川≤ol (2) 因此， 6=sup16(l≤IIzoll =1 泛函分析 November 3,2021 12/32
对于任何 α, β ∈ F, f, g ∈ X′ , 我们有 x ′′ 0 (αf + βg) = (αf + βg)(x0) = αf(x0) + βg(x0) = αx ′′ 0 (f) + βx ′′ 0 (g). 因此, x ′′ 0 是 X′ 上的线性泛函, 并且对任何 f ∈ X′ 有 |x ′′ 0 (f)| = |f(x0)| ⩽ ||f||||x0||. (2) 因此, ||x ′′ 0 || = sup f∈X′ ||f||=1 |x ′′ 0 (f)| ⩽ ||x0||. 泛函分析 November 3, 2021 12 / 32