目录第一章重事件与概率181.3古典概型1791.4几何概率i
8 ¹ 1Ù ¯VÇ 1 §1.3 ;V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.4 AÛVÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 i
第一章事件与概率$1.33古典概型(1)古典概型：有两个条件第一，（有限性）试验结果只有有限个(记为n），第二，(等可能性）每个基本事件发生的可能性相同为计算事件A的概率，设A中包含m个基本事件，则定义事件A的概率为P(A) = mn记号：为方便起见，以B记事件B中基本事件的个数，因此，[A]P(A) =1S2]计算古典概率，主要用到排列组合的知识，计数原理乘法原理假定进行过程I有n1中方式，而对于过程I的每一个方式，进行过程I都有n2种方式。那么，依次进行过程I与I共有nin2种方式。图1.3.1乘法原理Leavesn1n2n3n4Choices Choices Choices Choices++Stage1Stage2Stage 3 Stage41
1Ù ¯VÇ §1.3 ;V. (1) ;V.: kü^, 1, (k5) Á(Jkk(Pn) , 1, ( U5) zÄ ¯u)U5Ó. O¯AVÇ, A¥¹mÄ ¯, K½Â¯AVÇ P(A) = m n PÒ: B姱|B|P¯B¥Ä ¯ê§Ïd§ P(A) = |A| |Ω| O;VÇ, Ì^ü|Ü£. Oên ¦{n b½?1L§Ikn1¥ª§ éuL§Izª§?1L§IIÑkn2« ª"@o§g?1L§IIIkn1n2«ª" ã 1.3.1 ¦{n 1
加法原理假定进行过程有ni中方式，进行过程II有n2种方式。那么，进行过程I或I共有ni+n2种方式。排列组合1.从n个不同的元素中，有放回地取出r个元素组成的可重复排列的种数为n种。从n个不同的元素中，不放回地取出r个元素组成的不重复排列的种数为n(n-1)..·(n-r+1)=Pr2.从n个不同的元素中，不放回地取r个组成的组合，种数为n!n(n - 1) ... (n -r +1) _(1.3.1)r!rl(n-r)!3.从n个不同的元素中，有放回地取r个组成的组合(不考虑顺序），种数为+r-在运用排列组合公式时，要清楚次序问题例1.3.1.甲乙丙丁四人进行乒乓球双打练习，两人一对地结为对打的双方，有多少种不同的结对方式？可能有人会认为这个问题是简单的组合问题：从四人中选出两人结为一对剩下的两人结为一对即可.于是他们算得：有C?=6种方式但事实是否如此呢？我们还是实际地来排一排吧！不难看出，一共只有如下3种结对方式:(1)[甲,乙)丙,丁}；(2)[甲,丙){乙,丁}；(3)[甲,丁}[乙,丙)这个事实说明，组合模式并不适用于这个问题.有人可能会问：这是为什么呢组合”“组合”，不就是用来解决分组和结合问题的吗？我们说：固然不错“组合”是用来解决“分组”和“结合”问题的，但是这里仍然有着一个“顺序”问题.固然，在按组合模式分出的“组内”，元素之间是没有“顺序”的，但是需要指出的是：在“组”与“组”之间却存在着“顺序”，或者叫做“编号”！应当注意，在按“组合”模式计算时,我们计算的是“取出两个人”的所有不2
\{n b½?1L§Ikn1¥ª§?1L§IIkn2«ª"@o§?1L§I½II kn1 + n2«ª" ü|Ü 1. lnØÓ¥, k£/Ñr|¤Eü« ên r«"lnØÓ¥§Ø£/Ñr|¤Ø Eü«ên(n − 1)· · ·(n − r + 1) = P r n . 2. lnØÓ¥,Ø£/r|¤|ܧ«ê n r = n(n − 1)· · ·(n − r + 1) r! = n! r!(n − r)! (1.3.1) 3. lnØÓ¥,k£/r|¤|Ü(ØÄ^S)§«ê n + r − 1 r 3$^ü|Üúª, ÙgS¯K. ~ 1.3.1. `¯Z¶o<?1® ¥VöS,ü<é/(éV,kõ«Ø Ó(éª? Uk<¬@ù¯K´{ü|ܯK:lo<¥ÀÑü<(é,eü <(é=.u´¦:kC 2 4 = 6«ª. ¯¢´ÄXdQ?·´¢S/5üüj!ØJwÑ,kXe3«(é ª: (1){`,¯} {Z,¶}; (2){`,Z} {¯,¶}; (3){`,¶} {¯,Z}. ù¯¢`²,|Ü ª¿Ø·^uù¯K.k<U¬¯:ù´oQ¿‘|Ü”“| Ü”, ØÒ´^5)û©|Ú(ܯKí? ·`:,Ø,“|Ü”´^5)û“© |”Ú“(Ü”¯K,´ùpE,kX“^S”¯K. ,3U|Ü ª©Ñ“| S”,m´vk“^S”,´IÑ´:3“|”“|”m%3X“^S”,½ ö“?Ò”! A5¿,3U“|Ü” ªO,·O´“Ñü<”¤kØ 2
同取法数目，假如我们把取出的两人算为一组，而把留下的两个人算为另一组，那么由于“取出甲，乙，留下丙，丁”和“取出丙，丁，留下甲，乙”是两种不同的取出方式，而在这种计算方法中，被算作是两种不同的“分组”方式，从而得到如下6种“分组”方式：(1)第一组为：{甲,乙)；第二组为：丙,丁};(2)第一组为：{丙,丁)；第二组为：【甲,乙);(3)第一组为：{甲,丙)；第二组为：[乙,丁};(4)第一组为：{乙,丁}；第二组为：甲,丙);(5)第一组为：甲，丁1；第二组为：（乙,丙1(6)第一组为：{乙,丙)；第二组为：【甲,丁}这就是说，在这种计算中，我们已经把所分出的组编了号：取出的两个人为第一组，剩下的两人为第二组的这就告诉我们：“组合”是一种“有编号的分组模式”，或者说，按照组合模式计算出的分组方式数目中，已经天然地把组的不同编号方式数目计算在内了。例1.3.2.欲将6个人分为3组，每组2人，分别从事3项不同工作，求分配方式数解：先取出两人从事第1项工作，有C种方式；再取出两人从事第2项工作，有C种方式剩下的两人从事第3项工作.所以一共有6！46!C C = 41-2 21.21 = 2. 21. 2 = 90种分配方式在这里，3项工作是不同的，在它们之间天然地存在着“顺序”,或者叫"编号”所以适用于组合模式.由于分出的组数多于两组，所以我们将分组过程分为几步进行例1.3.3.要把7人分为3个小组，执行同一种任务，其中一个组3人，另两个组各2人，求分组方式数.解：显然这也是一个“无编号分组”问题.但是却与上面的情况有所不同.因为其中有一个3人组,无论是否编号，它都与其余两个组有所区别（编号无非是为了对分出的组加以区分），所以在按“有编号分组模式”算出分组方式数之后，只应再除以2！（即除去两个不加区分的组的排列顺序数),故得：共有7！17!3! ·2! -2 21=3 (2)33
Ó{ê8. bX·rÑü<|, r3eü<,|. @od u“Ñ`,¯, 3eZ,¶”Ú“ÑZ,¶, 3e`,¯” ´ü«ØÓѪ, 3ù« O{¥, ´ü«ØÓ“©|”ª, l Xe6«“©|”ª: (1)1|:{`,¯}¶1|µ{Z,¶}; (2)1|:{Z,¶}¶1|µ{`,¯}; (3)1|:{`,Z}¶1|µ{¯,¶}; (4)1|:{¯,¶}¶1|µ{`,Z}; (5)1|:{`,¶}¶1|µ{¯,Z}; (6)1|:{¯,Z}¶1|µ{`,¶}. ùÒ´`, 3ù«O¥, ·®²r¤©Ñ|? Ò: Ñü<1|,e ü<1|. ùÒw·: “|Ü”´«“k?Ò©| ª”, ½ö`, Uì|Ü ªOÑ©|ªê8 ¥,®²U,/r|ØÓ?Òªê8O3S . ~ 1.3.2. ò6<©3|,z|2<,©Ol¯3ØÓó,¦©ªê. )µkÑü<l¯11ó,kC 2 6«ª;2Ñü<l¯12ó, kC 2 4« ª;eü<l¯13ó. ¤±k: C 2 6 · C 2 4 = 6! 4! · 2! 4! 2! · 2! = 6! 2! · 2! · 2! = 90 «©ª. 3ùp,3ó´ØÓ,3§mU,/3X“^S”,½ö”?Ò”,¤±·^ u|Ü ª.du©Ñ|êõuü|,¤±·ò©|L§©AÚ?1. ~ 1.3.3. r7<©3|,1Ó«?Ö,Ù¥|3<,ü|2<, ¦©| ªê. ):w,ù´“Ã?Ò©|”¯K. ´%þ¡¹k¤ØÓ. ÏÙ¥k 3<|,ÃØ´Ä?Ò,§ÑÙ{ü|k¤«O(?Òô é©Ñ|\± «©),¤±3U“k?Ò©| ª”Ñ©|ªê,A2ر2! (=ØüØ\ «©|ü^Sê),: k 7! 3! · 2! · 2! · 1 2! = 7! 3! · (2!)3 3
种分组方式为了适应这种分为多个“不同的”组的问题需求，人们总结出如下的“多组组合模式"：4.多组组合模式：有n个不同元素，要把它们分为k个不同的组，使得各组依次有n1,n2,,nk个元素，其中n1+n2+..+nk=n,则一共有n!ni!n?!....nk!种不同分法，4.不尽相异元素的排列模式有n个元素，属于个不同的类，同类元素之间不可辨认，各类元素分别有ni，n2，..，n个，其中n+m2+..+nk=n.要把它们排成一列.则一共有n!ni!n2!..nk!种不同排法，例1.3.4.一批产品有N个，其中废品有M个。现从中随机取出n个，在以下两种情形下，分别求“其中恰好有m个废品”这一事件的概率。(1)有放回地选取；(2)不放回地选取解：记A=（其中恰好有m个废品，则(1)有放回情形Mm(N-M)n-m[2] = Nn, [A| =CmMm(N- M)n-mVP(A) =NnA(2)不放回情形[2]=CN,[A|=CMCN-MCHCN-MP(A) = CN例1.3.5.n个男生，m个女生排成一排(m≤n+1).求事件A=[任意两个女孩不相邻)的概率。又若排成一，又如何？4
«©|ª. ·Aù«©õ“ØÓ”|¯KI¦,<o(ÑXe“õ||Ü ª”: 4. õ||Ü ªµ knØÓ,r§©kØÓ|,¦ |gkn1, n2, · · · , nk,Ù¥n1 + n2 + · · · + nk = n,Kk n! n1! · n2! · . · nk! «ØÓ©{. 4’. ئÉü ª kn,áukØÓa,Óa mØE@,a©Okn1, n2, · · · , nk,Ù¥n1 + n2 + · · · + nk = n,r§ü¤,Kk n! n1! · n2! · · · nk! «ØÓü{. ~ 1.3.4. 1¬kN§Ù¥¢¬kM"yl¥ÅÑn§3±eü«/e§ ©O¦/Ù¥TÐkm¢¬0ù¯VÇ" (1) k£/À¶ (2) Ø£/À ): PA = {Ù¥TÐkm¢¬}§K (1) k£/ |Ω| = N n , |A| = n m Mm(N − M) n−m P(A) = C m n Mm(N − M) n−m Nn = n m M N mN − M N n−m (2)Ø£/ |Ω| = C n N , |A| = C m MC n−m N−M P(A) = C m MC n−m N−M Cn N ~ 1.3.5. nI), må)ü¤ü(m ≤ n+ 1). ¦¯A = {?¿üå¯Ø} VÇ"qeü¤§qXÛ? 4