《概率论与数理统计》课程教学课件（讲义）第一章 随机事件与概率 第四讲 条件概率与独立性（打印版）

目录第一章重事件与概率191.5条件概率1381.5.1全概率公式和Bayes公式事件的独立性$1.5.26i

8 ¹ 1Ù ¯‡†VÇ 1 §1.5 ^‡VÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.5.1 VÇúªÚBayesúª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §1.5.2 ¯‡Õá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 i

第一章事件与概率81.5条件概率1.条件概率的定义一般讲，条件概率就是在知道了一定的信息下所得到的随机事件的概率，如两个工厂A和B生产同一品牌的电视机，商场中该品牌有个统一的次品率，比如0.5%，如果你从某个途径知道该商场的这批电视机是A厂生产的，则你买到的电视机的次品率不再是0.5%.而应该比0.5%要小，这个概率就是条件概率，即你在知道了这批电视机是A厂生产的附加条件下的概率就是条件概率保险中应用的存活人数死亡率也是条件概率定义1.5.1.设事件A和B是随机试验2中的两个事件，P(B)>0，称P(AB)P(A|B) =P(B)为事件B发生条件下事件A发生的条件概率注1.5.1.P(A)和P(A|B)是不同的两个概率.如图，设矩形A的面积为1,则P(A)表示A的面积，而P(AB)表示在B中，A所占的比例，即AB这块面积在B中所占的比例B也可以从概率的统计定义，即用频率来近似概率这一角度来理解条件概率，设在n次独立试验中，事件A发生了nA次，事件B发生了nB次，事件AB发生了nAB次，事件B发生下事件A发生的频率为nAB~P(AB)nB~P(B)注1.5.2.事实上，我们所考虑的概率都是在一定条件下计算的，因为随机试验就是在一定的条件下进行的，所以样本空间是相对而言的。如果把在一定条件下的随机试验看成无条件的，则在补充条件下进行的随机试验的结果一般而言相对于原有结果要少，即样本空间改变了：所以所得随机事件的概率一般是不相同的，1

1Ù ¯‡†VÇ §1.5 ^‡VÇ 1. ^‡Vǽ „ù, ^‡VÇÒ´3 ½&Ee¤‘ů‡VÇ. Xü‡ ó‚AÚB)Ó¬ý>ÀÅ, û|¥T¬ýk‡Úg¬Ç, 'X0.5%, XJ\ l,‡å»Tû|ù1>ÀÅ´A‚), K\ï>ÀÅg¬ÇØ2 ´0.5%, AT'0.5%‡, ù‡VÇÒ´^‡VÇ, =\3 ù1>ÀÅ´A‚) N\^‡eVÇÒ´^‡VÇ. x¥A^¹<êkǏ´^‡VÇ. ½Â 1.5.1. ¯‡AÚB´‘ÅÁΩ ¥ü‡¯‡, P(B) > 0 , ¡ P(A|B) = P(AB) P(B) ¯‡Bu)^‡e¯‡Au)^‡VÇ. 5 1.5.1. P(A)ÚP(A|B) ´ØÓü‡VÇ. Xã, Ý/A¡È1, KP(A)L«A ¡È, P(A|B)L«3B¥, A¤Ó'~, =ABù¬¡È3B¥¤Ó'~. Œ±lVÇÚO½Â, =^ªÇ5CqVÇùÝ5n)^‡VÇ. 3ng ÕáÁ¥, ¯‡Au) nAg, ¯‡Bu) nBg, ¯‡ABu) nABg, ¯‡Bu) e¯‡Au)ªÇ nAB nB ≈ P(AB) P(B) 5 1.5.2. ¯¢þ, ·‚¤ÄVÇÑ´3½^‡eOŽ, Ϗ‘ÅÁÒ´3 ½^‡e?1, ¤±m´ƒé ó. XJr3½^‡e‘ÅÁw¤ Ã^‡, K3Ö¿^‡e?1‘ÅÁ(J„ óƒéuk(J‡, = mUC . ¤±¤‘ů‡VDŽ´ØƒÓ. 1

例1.5.1.有10个产品，内有3个次品，从中一个个地抽取（不放回）检验，问第一次取到次品后第二次再取到次品的概率，解：样本空间2是从10个产品中有序取出2个产品的不同方法，这是一个排列问题，易知#2=10×9=90,记A=[第一次取出的是次品),B=[第二次取出的是次品),#(AB)=6,#A=3,故P(AB)_ 6/90P(B[4)= () = 3/10 =2/9注意,P(B|A)=2/9≠P(A)=3/10.例1.5.2.有三张相同的卡片和一顶帽子，第一张卡片两面都画有图，第二张卡片一面画图，一面画星，第三张卡片两面都画星，现在庄家把卡片放在帽中摇晃，然后让你任取一张，把它放在桌上，设你看到卡片上面的图案为图，然后庄家与你打赌下面的图案与上面一样时算庄家赢，不一样是为你赢。请问这样的赌博是否是公平的？这是著名数学家，信息论的创建者之一A.Weaver设计的，他曾在50年的《科学美国人》上介绍过这个例子.请大家想一想，很有意思例1.5.3.掷两个般子，观测出现的点数，分别以和y表示第一和第二颗般子掷出的点数，记A=((,y):+y≥9)，B=(r,y):>y)，求P(A|B)和P(BIA)容易算出P(A|B)=2/15，P(B|A)=1/3,这说明这两个条件概率不是一回事2.乘法定理由P(A|B) = () → P(AB) = P(A|B)P(B)1由归纳法容易推广为n个事件同时发生的概率有如下公式P(A1A2* An) = P(A1)P(A2|A1) P(An|A1**An-1)上面公式的右边看似麻烦，其实在实际中很容易算出.在没有给出n个事件之间相互关系时，这是计算n个事件同时发生的一个重要公式例1.5.4.某人忘了某饭店电话号码的最后一个数字，因而随意拔号，问他三次之内拔通电话的概率，解：令A,=[第次打通电话],i=1,2,3，则P(3次内拨通电话）=P(A1UA2UA3)2

~ 1.5.1. k10‡¬, Sk3‡g¬, l¥‡‡/Ä(Ø£) u, ¯1gg ¬￾1g2g¬VÇ. ): mΩ´l10‡¬¥kSÑ2‡¬ØӐ{, ù´‡ü¯K, ´ #Ω = 10×9 = 90, PA ={1gÑ´g¬}, B ={1gÑ´g¬}, #(AB) = 6, #A = 3,  P(B|A) = P(AB) P(A) = 6/90 3/10 = 2/9 5¿, P(B|A) = 2/9 6= P(A) = 3/10. ~ 1.5.2. kn܃Ók¡Úºlf, 1Ük¡ü¡Ñxk, 1Ük¡¡x , ¡x(, 1nÜk¡ü¡Ñx(. y3B[rk¡3l¥~™, ,￾4\? Ü, r§3Sþ, \wk¡þ¡ãY, ,￾B[†\‹Ùe¡ãY†þ ¡žŽB[I, Ø´\I. ž¯ùÙÆ´Ä´ú²? ù´Í¶êÆ[, &EØMïöƒA. Weaver O, ¦Q350c5‰Æ{I <6þ0Lù‡~f. žŒ[ŽŽ, ék¿g. ~ 1.5.3. •ü‡f, *ÿÑy:ê, ©O±xÚyL«1Ú1ˆf•Ñ:ê, PA = {(x, y) : x + y ≥ 9} , B = {(x, y) : x > y} , ¦P(A|B) ÚP(B|A). N´ŽÑP(A|B) = 2/15 , P(B|A) = 1/3, ù`²ùü‡^‡VÇØ´£¯. 2. ¦{½n dP(A|B) = P(AB) P(B) ⇒ P(AB) = P(A|B)P(B) d8B{N´í2n‡¯‡Óžu)VÇkXeúª: P(A1A2 · · · An) = P(A1)P(A2|A1)· · · P(An|A1 · · · An−1) þ¡úªm>wqæ†, Ù¢3¢S¥éN´ŽÑ. 3vk‰Ñn‡¯‡ƒmƒ p'Xž, ù´OŽn‡¯‡Óžu)‡­‡úª. ~ 1.5.4. ,<# ,ŒA>{Òè￾‡êi, Ï ‘¿ÃÒ, ¯¦ngƒSÃÏ >{VÇ. ): -Ai={1ig‹Ï>{}, i = 1, 2, 3 , K P(3gSÃÏ>{) = P(A1 ∪ A2 ∪ A3) 2

= 1-P(AA2A3)987= 1-1098=0.3例1.5.5.将n根短绳的2n个端头任意两两连接，试求恰好连成n个圈的概率解：以2表示所有不同连结结果的集合，设想把2n个端头排成一行，然后规定将第2k-1个端头与第2k个端头相连接，k=1,2·，n.于是每一种排法对应一种连结结果，从而2=(2n）.以A表示恰好连成n个圈的事件.设想已将n根短绳作了编号，以A表示第k号短绳被连成1个圈的事件，于是有A=nAkk=1当A1发生时，1号短绳被连成1个圈，这相当于有一个kE{1,2,，n]，使得在2n个端头的排列中，1号短绳的两个端头排在第2k－1和第2k个位置上，所以|A1l=2n(2n-2).因此1[Ai]P(Ai) =2]=2n-1我们来求P(A2|A1),即要在已知1号短绳被连成1个圈的情况下，求2号短绳也被连成1个圈的概率.既然1号短绳已经自成1个圈，我们就可以不考虑它，只要对剩下的n－1根短绳讨论其中的头一号短绳被连成1个圈的问题就行了.就是说，我们只要在变化了的概率空间上按计算无条件概率的公式来计算条件概率P(A2IA1)就行了.由于现在的情况与原来的情况完全类似，只不过总的绳数变为n一1根，故通过类比，即知11P(A2l41)= 2(n -1)-1= 2n -3同理可得11P(Ak|A1A2 .. Ak-1) = 2k= 3,4,..,n2[n-(k-1))-1 =22n-2k+1于是由概率乘法定理中的(2.3.6)式得到n11P(A)= P(N 4n) =2m -2k+1=(2n-1) k=1k=1在这个解法中，充分体现了利用变化了的概率空间计算条件概率的好处g1.5.1全概率公式和Bayes公式1.全概率公式3

= 1 − P(A¯ 1A¯ 2A¯ 3) = 1 − 9 10 8 9 7 8 = 0.3 ~ 1.5.5. ònŠá-2n‡àÞ?¿üüë,Á¦TÐë¤n‡VÇ. ):±ΩL«¤kØÓë((J8Ü,Žr2n‡àÞü¤1,￾5½ò12k − 1‡àކ12k‡àރë,k = 1, 2, · · · , n.u´z«ü{éA«ë((J,l |Ω| = (2n)!.±AL«TÐë¤n‡¯‡.Ž®ònŠá-Š ?Ò,±AkL«1kÒá- ë¤1‡¯‡,u´kA = Tn k=1 Ak. A1u)ž,1Òá-ë¤1‡,ùƒuk‡k ∈ {1, 2, · · · , n}, ¦32n‡à Þü¥,1Òá-ü‡àÞü312k − 1Ú12k‡ þ,¤±|A1| = 2n(2n − 2)!.Ï d P(A1) = |A1| |Ω| = 1 2n − 1 . ·‚5¦P(A2|A1),=‡3®1Òá-ë¤1‡œ¹e,¦2Òá-ë¤1‡ VÇ.Q,1Òá-®²g¤1‡,·‚ÒŒ±Øħ,‡éen − 1Šá- ?ØÙ¥ÞÒá-ë¤1‡¯KÒ1 .Ò´`,·‚‡3Cz VÇ mþUOŽÃ^‡VÇúª5OŽ^‡VÇP(A2|A1)Ò1 .duy3œ¹†5 œ¹aq,ØLo-êCn − 1Š,ÏLa',= P(A2|A1) = 1 2(n − 1) − 1 = 1 2n − 3 . ÓnŒ P(Ak|A1A2 · · · Ak−1) = 1 2[n − (k − 1)] − 1 = 1 2n − 2k + 1 , k = 3, 4, · · · , n. u´dVǦ{½n¥(2.3.6)ª P(A) = P( \n k=1 Ak) = Yn k=1 1 2n − 2k + 1 = 1 (2n − 1)!! . 3ù‡){¥,¿©Ny |^Cz VÇmOŽ^‡VÇÐ?. §1.5.1 VÇúªÚBayesúª 1. VÇúª 3

定义1.5.2.设B1,B2，··Bn是样本空间2中的两两不相容的一组事件，即B,B,=Φ，i≠j，且满足U"=1B=2，则称B1,B2,·Bn是样本空间2的一个分割（又称为完备事件群，英文为partition）全概率公式：设[B1,B2,··Bn)是样本空间2的一个分割，且P(B)>0(i=1,，n),A为2中的一个事件，则P(A) = P(A|B;)P(B;)目的：有时不容易直接计算事件A的概率，但是在每个B；上A的条件概率容易求出注意：应用中最重要的是验证[B1,B2,···Bn}构成样本空间的一个分割例1.5.6.设某厂产品的一个零部件是由三家上游厂商供货的.已知有一半是B1厂提供的，B2厂商和B3分别提供25%.已知厂商B1和B2的次品率都是2%，B3的次品率为4%从该厂产品中任取一个产品，问该产品的这个零部件是次品的概率解：记A={取出的产品为次品},B;=[取到的产品是B;厂生产的),i=1,2,3,易见B1,B2,B3构成样本空间的一个分割，且P(B1)=0.5，P(B2)=P(B3)=0.25,P(A|B1)=P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.04，由全概率公式马上得到P(A)=0.02×0.5+0.02×0.25+0.04×0.25=0.025例1.5.7.将n根短绳的2n个端头任意两两连接，求恰好连成n个圈的概率解：现在再来利用全概率公式给出一个解答.以An表示n根短绳恰好连成n个圈的事件，记pn=P(An）.再以B表示第1根短绳连成1个圈的事件,用B和Bc作为对2的一个分划.于是由全概率公式得pn = P(An) = P(B)P(An|B) + P(B°)P(An|B°),在前面例子中已经求得P(B)=2n-r;易见P(An|Bc)=0;而P(AnB)则是在已知第1根短绳连成1个圈的条件下其余n-1根短绳连成n一1个圈的概率，此时第1根短绳已经与其余n-1根短绳无关,所以P(An|B)=P(An-1)=Pn-1,代入上式即可得到1Pn = P(An) = 2n -Pn-1 , n = 2,3,...4

½Â 1.5.2. B1, B2, · · · Bn ´mΩ ¥üü؃N|¯‡, =BiBj = φ, i 6= j, …÷v Sn i=1 Bi = Ω, K¡B1, B2, · · · Bn ´mΩ ‡©(q¡¯‡ +,=©partition). VÇúª:{B1, B2, · · · Bn}´mΩ‡©, …P(Bi) > 0(i = 1, · · · , n), AΩ¥‡¯‡, K P(A) = Xn i=1 P(A|Bi)P(Bi) 8: kžØN´†OŽ¯‡AVÇ, ´3z‡BiþA^‡VÇN´¦Ñ. 5¿: A^¥­‡´y{B1, B2, · · · Bn}¤m‡©. ~ 1.5.6. ,‚¬‡"܇´dn[þi‚ûøÀ. ®kŒ´B1 ‚Jø , B2‚ûÚB3 ©OJø25% . ®‚ûB1 ÚB2 g¬ÇÑ´2%, B3 g¬Ç4%, lT‚¬¥?‡¬, ¯T¬ù‡"܇´g¬VÇ. ): PA ={Ѭg¬}, Bi ={¬´Bi ‚)}, i = 1, 2, 3, ´„B1, B2, B3 ¤m‡©, …P(B1) = 0.5, P(B2) = P(B3) = 0.25, P(A|B1) = P(A|B2) = 0.02, P(A|B3) = 0.04, dVÇúªêþ P(A) = 0.02 × 0.5 + 0.02 × 0.25 + 0.04 × 0.25 = 0.025 ~ 1.5.7. ònŠá-2n‡àÞ?¿üüë,¦TÐë¤n‡VÇ. ):y325|^VÇúª‰Ñ‡)‰. ±AnL«nŠá-TÐë¤n‡¯ ‡,Ppn = P(An).2±BL«11Šá-ë¤1‡¯‡,^BÚBcŠéΩ‡©y.u ´dVÇúª pn = P(An) = P(B)P(An|B) + P(B c )P(An|B c ). 3c¡~f¥®²¦P(B) = 1 2n−1 ;´„P(An|Bc ) = 0; P(An|B) K´3®11Šá -ë¤1‡^‡e,Ù{n − 1Šá-ë¤n − 1‡VÇ,dž11Šá-®²†Ù {n − 1Šá-Ã',¤±P(An|B) = P(An−1) = pn−1,\þª=Œ pn = P(An) = 1 2n − 1 pn−1 , n = 2, 3, · · · . 4