电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第七章（7.2）贝塞尔函数的性质

3、 Bessell函数的母函数(生成函数) G(, z)=e2 ∑ U n(x)z 由 Bessel函数的母函数,当x为实数时可得 ix cose J(x)+2∑Jn(x) cos ne coS(X COS )=1(x)+2>(1)J2n(xosm 4、 Bessel函数的积分表达式

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 3、Bessel函数的母函数（生成函数） 1 ( ) 2 ( , ) ( ) x z z n n n G x z e J x z  − =− = =  由Bessel函数的母函数，当x为实数时可得： cos 0 1 ( ) 2 ( )cos ix n n n e J x i J x n    = = +  0 2 1 cos( cos ) ( ) 2 ( 1) ( )cos 2 m m m x J x J x m    = = + −  4、Bessel函数的积分表达式

Un(x) 2Ti 当n为整数时: cos(xsin-n6)d6,(n=0,±1,±2,…) 2丌J-z

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7  + − = C n x n d e i J x . 1 ) 1 ( 2 2 1 ( )      当n为整数时： . . 1 ( ) cos( sin ) ,( 0, 1, 2, ) 2 n J x x n d n       − = − =   

(一)、贝塞尔函数的递推公式 n+1(-) 3、Jn-1(x)+Jn+1(x)==nJn(x) 4\Jm-(x)-Jn+(x)=2/n(x)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 1 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x −    = 、  2 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x − − +    = − 、  1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) n n n J x J x nJ x x 、 − + + = 4 ( ) ( ) 2 ( ) n n n 1 1 J x J x J x − + 、 − =  (一)、贝塞尔函数的递推公式

证明:因为: 2n+2m Ix(x)=∑ 2n+20m!I(n+m+1) x∑(-1) m=0 2 tm-m!r(n+m) n-1 所以 d xX 同理可证 xX n+1

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 2 2 2 0 [ ( )] ( 1) 2 ! ( 1) n m n m n n m m d d x x J x dx dx m n m  + + = = −  + +  证明：因为： 1 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x −    = 、  2 1 2 1 0 1 ( 1) 2 ! ( ) ( ) n m n m n m m n n x x m n m x J x  + − + − = − = −  + =  所以： 同理可证： 2 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x − − +    = − 、 

将1与2相加得: 3、Jn1(x)+Jn+1(x)==1Jn(x) 将1与2相减得: 4Jn-(r)-Jmn+(x)=2J,(x 递推公式在贝塞尔函数分析运算中非常有用,通过 递推公式,总可以把高阶贝塞尔函数化为0阶与1阶 贝塞尔函数,然后查表计算。 同样道理,可以得到第二类贝塞尔函数递推公式: Lx Y(x]=x' Yn(x)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 将1与2相加得： 将1与2相减得： 递推公式在贝塞尔函数分析运算中非常有用，通过 递推公式，总可以把高阶贝塞尔函数化为0阶与1阶 贝塞尔函数，然后查表计算。 同样道理，可以得到第二类贝塞尔函数递推公式： 1 [ ( )] ( ) 1 n n n n d x Y x x Y x dx 、 = − 1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) n n n J x J x nJ x x 、 − + + = 4 ( ) ( ) 2 ( ) n n n 1 1 J x J x J x − + 、 − = 