例1 求证lim(x2+y2)sinx-0x-+1y-0证>0，要使(x~+sir<8,+X: (x? + y)sin0=x+ysin x+≤x2+23: 取=V，当0<(x-0)+(-0)<8时,有(x? +y)sin-0<,故lim(x2+y)sin=0x-0X-0-21-
证 0 1 2 2 2 2 x y ( x y )sin 2 2 2 2 1 sin x y x y 2 2 x y 取 ， 2 2 当 时 0 ( 0) ( 0) x y ， 2 2 2 2 1 ( )sin 0 x y x y 有 ， 2 2 2 2 1 0 ( )sin 0 x y x y ， ， 要使 2 2 2 2 0 0 1 lim( )sin 0. x y x y x y 例1 求证 -21- 2 2 2 2 0 0 1 lim( )sin 0. x y x y x y 故
★判定二元函数极限不存在的常用方法：1若P(x,y)按照某种特殊方式C趋于P(xo,yo)时lim f(P)不存在，则lim f(P)不存在P-PP-→P沿Cy例2 证明 lim不存在.cOSX(x,y)→(0,0)证：当(x,y)沿直线y=x趋于点(0,0)时，有1ylimlimcos不存在.cos-(x,y)→(0,0)X-0xy=x故，原极限不存在-22-
★ 判定二元函数极限不存在的常用方法： 0 0 000 (, ) ( , ) lim ( ) lim ( ) . C P P P P Pxy C P x y fP fP 沿 若 按照 趋于 时， 不 某种特殊方式 存在，则 不存在 ① 2 ( , ) (0,0) lim cos . x y y x 例2 证明 不存在 证 : 当 沿直线 趋于点 时 有 ( , ) (0,0) xy y x ， 2 ( , ) (0,0) 0 1 lim cos limcos . x y x y x y x x 不存在 故 原极限不存在 ， . -22 -
②若P(x,y)按照某类特殊方式趋于P(xo,yo)时，f(x,y)不趋于同一个常数，则lim f(P)不存在.P→PoX-不存在,例3 证明 lim(x,y)-→(0,0) x + y证：当(x,y)沿直线y=kx趋于点(O,O)时，有1-k(1-k)xx-y=limlimk±-1(x,)-(0,0) x + yx->0 (1+k)x1+k=kx此极限值随k值不同而不同，故，原极限不存在-23-
0 000 (, ) ( , ) ( , ) lim ( ) P P Pxy P x y f xy f P ， ， . 若 按照 趋于 时 不 某类 趋于同一个常数 则 特殊方式 不存在 ② ( , ) (0,0) lim . x y x y x y 例3 证明 不存在 证 : 当 沿直线 趋于点 时 有 ( , ) (0,0) x y y kx ， ( , ) (0,0) 0 (1 ) 1 lim lim 1. (1 ) 1 x y x y kx x y kx k k x y kx k ， 故 原极限不存在 ， . 此极限值随 值不同而不同 k ， -23-
xV练习不存在证明lim2138x6+yJ-0证 取特殊路径y=kx,x3 . kx3kxylimlim(x0)-(0. 0) x6 + y21+k2x-0x6+kx6y=kr3由于上述极限值随k的不同取值而变化，故，原极限不存在-24-
证 3 6 2 0 0 lim . x y x y x y 练习 证明 不存在 3 取特殊路径 y kx ， 3 3 33 6 2 6 26 2 ( , ) (0,0) 0 lim lim 1 x y x y kx x y x kx k x y x kx k ， . k ， ， 由于上述极限值随 的不同取值而变化 故 原极限不存在 -24-
③找出两种特殊路径：C与C，若lim f(P) ± lim f(P)，则 lim f(P)不存在PPoP-PoP→Po洛C沿C2x"y?例4证明不存在lim(x,)-(0.0) x*y2 +(x - y)?证：取(x,y)→(0,O)的两种路径：y=±x，分别求极限xy?x4limlim=1,二X30x4(x,)-(0,0) x*y2 +(x - y)2y=xxy2xXlimlimlim=0,4+4x22(x,j)-(0,0) x2y2 + (x -y)22+4x→0X4x→0x-y=-X两种路径得到的极限值不同，故原极限不存在-25-
0 0 1 2 0 1 2 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . C C P P P P P P f P C P f C f P 沿 沿 找出 ： ，若 两种特殊路 ， 径 与 则 不存在 ③ 2 2 22 2 ( , ) (0,0) lim . ( ) x y x y xy x y 例 4 证明 不存在 证：取 的两种路径： ，分别求极限 ( , ) (0,0) x y y x 22 4 22 2 4 ( , ) (0,0) 0 lim lim 1 ( ) x y x y x xy x xy x y x ， 两种路径得到的极限值不同，故原极限不存在. 22 4 2 22 2 4 2 2 ( , ) (0,0) 0 0 lim lim lim 0 () 4 4 x y x x y x xy x x xy x y x x x ， -25-